福建省南安一中2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)-Word版含答案.docx

南安一中2022～2021学年度上学期期中考高二数学科试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1、命题“”的否命题是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知点，则点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ）
A. B. C. D.
4、 “p或q是假命题”是“非p为真命题”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5、在正方体中，为的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． 　B． C． D．
6、设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、．若△为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
7、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.

8.已知命题：关于x的不等式的解集是R，命题：，
则是 的那么（ ）
A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
9、已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
10． 给定空间中的直线及平面a，条件“直线与平面a 内很多条直线都垂直”是“直线与平面a 垂直”的（ ）条件
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
11、 “”是“”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
12、过抛物线的焦点作一条斜率不为0的直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别为、，则等于（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分
13．已知向量，若∥，则______
14、若，点在双曲线上，则点到该双曲线左焦点的距离为 .
15. “”是“”的　　 　　条件．(填充分非必要条件、 必要非充分条件 、充要条件 、既非充分又非必要条件)
16．抛物线上两点、关于直线对称，
且，则等于
三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
17.（本小题满分12分）
如图，正四棱柱中，，点在上且．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

18.（本小题满分12分）已知椭圆过点，且离心率。
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求直线的方程。

19．（本小题满分12分）D
A
C
O
B
E
如图，在四周体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．

20．（本小题满分12分）已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

21.（本小题满分12分）如图，已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．
（Ⅰ）求DH与所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面所成角的正弦值．
H

22．（本小题满分14分）已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，
求△面积的最大值.

南安一中2022～2021学年度上学期期中考高二数学科参考答案（理科）

（Ⅰ）由于，，
故，．又，
所以平面． 6分
（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则
，．故，．
令，则，，． 9分
等于二面角的平面角（或补角），
．所以二面角的平面角的余弦值为．……… 12分
18.（本小题满分12分）已知椭圆过点，且离心率。
（1）求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求直线的方程。
解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率
∴椭圆方程为 ……2分
又点在椭圆上 ∴椭圆的方程为 ……4分
（Ⅱ）设
由 消去并整理得 ……5分
∵直线与椭圆有两个交点，∴，即 ……7分
又，中点的坐标为 ……8分
∵线段的垂直平分线过定点
∴，满足 ……11分
所求直线的方程是 ……12分

D
A
C
O
B
E
19.．（本小题满分12分）如图，在四周体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（Ⅰ）求证：平面BCD；
（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离．
解:：⑴．证明：连结OC
………… 1分
，． ……… 2分
在中，由已知可得 … 3分
而， ………………… 4分
即 ………………… 5分
∴平面． …………………………… 6分
（Ⅱ）方法一。解：设点E到平面ACD的距离为． ， ………………………………………………8分
在中，,
,而，．
∴， ∴点E到平面ACD的距离为 …12分
（Ⅱ）方法二。解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

A
C
D
O
B
E
y
z
x
设平面ACD的法向量为则
，
∴，
令得是平面ACD的一个法向量．……10分
又 ∴点E到平面ACD的距离 ．…12分
20．（本小题满分12分）已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.
解: (1) 由于动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,,
所以所求的轨迹方程为---------4分
(2) 假设存在在上，则， ……6分
所以,直线AB的方程:,即
即AB的方程为:,即
即:，令,得， ……11分
所以直线AB过定点(4,0) ……12分 （ 本题设直线代入，利用韦达定理亦可）。
21（本小题满分12分）如图，已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．
（Ⅰ）求DH与所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面所成角的正弦值．
A
B
C
D

x
y
Dz

H
Z
解：以为原点，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系．
不妨设，另设
则，．连结，．
设，由已知，
由
可得．解得， ……3分
所以．（Ⅰ）由于，
所以．即DH与所成的角为． ……6分
（Ⅱ）设平面的法向量为则
，
∴，令得是平面的一个法向量．……9分
，设DH与平面所成的角为
所以． …………12分
22．（本小题满分14分）已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求△面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意 ∴，∴ 所求椭圆方程为．…3分
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．………4分
（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．………5分
由已知，得．………6分
把代入椭圆方程，整理得，
，．………8分

．………12分
当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．…13分
当时，取得最大值，面积也取得最大值．…14分