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4.6 用牛顿运动定律解决问题(一)
[目标定位] 1.明确动力学的两类基本问题.2.把握应用牛顿运动定律解题的基本思路和方法．
一、从受力确定运动状况
假如已知物体的受力状况，可以由牛顿其次定律求出物体的加速度，再通过运动学的规律就可以确定物体的运动状况．
二、从运动状况确定受力
假如已知物体的运动状况，依据运动学公式求出物体的加速度，再依据牛顿其次定律确定物体所受的力．
想一想：
如图461所示为某次真空试验中用频闪照相机拍摄到的金属球与羽毛在真空中下落时的照片，由照片可以看出，在真空中金属球与羽毛的下落运动是同步的，即它们有相同的加速度．
问题：依据牛顿其次定律，物体的加速度与其质量成反比，羽毛与金属球具有不同质量，为何它们的加速度相同呢？
图461
答案 牛顿其次定律中物体的加速度与其质量成反比的前提是合力不变．本问题中真空中羽毛及金属球都是只受重力作用，故依据牛顿其次定律a＝知，它们的加速度均为自由落体加速度g.
一、从受力确定运动状况
1．基本思路
首先对争辩对象进行受力状况和运动状况分析，把题中所给的状况弄清楚，然后由牛顿其次定律，结合运动学公式进行求解．
2．解题步骤
(1)确定争辩对象，对争辩对象进行受力分析，并画出物体的受力图．
(2)依据力的合成与分解，求出物体所受的合力(包括大小和方向)．
(3)依据牛顿其次定律列方程，求出物体运动的加速度．
(4)结合物体运动的初始条件，选择运动学公式，求出所需的运动学量——任意时刻的位移和速度，以及运动时间等．
已知物体的受力状况求得a，求
得x、v0、v、t.
例1
图462
楼梯口一倾斜的天花板与水平地面成θ＝37°，一装潢工人手持木杆绑着刷子粉刷天花板，工人所持木杆对刷子的作用力始终保持竖直向上，大小为F＝10 N，刷子的质量为m＝0.5 kg，刷子可视为质点，刷子与板间的动摩擦因数μ为0.5，天花板长为L＝4 m，取sin 37°＝0.6，试求：
(1)刷子沿天花板向上的加速度；
(2)工人把刷子从天花板底端推到顶端所用的时间．
解析 (1)以刷子为争辩对象，受力分析如图
设向上推力为F，滑动摩擦力为Ff，天花板对刷子的弹力为FN，由牛顿其次定律，得
(F－mg)sin 37°－μ(F－mg)cos 37°＝ma
代入数据，得a＝2 m/s2.
(2)由运动学公式，得L＝at2
代入数据，得t＝2 s
答案 (1)2 m/s2 (2)2 s
借题发挥 (1)正确的受力分析是解答本类题目的关键．(2)若物体受两个力作用，用合成法求加速度往往要简便一些；若物体受三个或三个以上的力作用时，要正确应用正交分解法求加速度．
针对训练 一个静止在水平面上的物体，质量为2 kg，受水平拉力F＝6 N的作用从静止开头运动，已知物体与平面间的动摩擦因数μ＝0.2，求物体2 s末的速度及2 s内的位移．(g取10 m/s2)
解析 物体竖直方向受到的重力与支持力平衡，合力为零，水平方向受到拉力F和滑动摩擦力，则依据牛顿其次定律得
F－f＝ma，又f＝μmg
联立解得，a＝1 m/s2.
所以物体2 s末的速度为 v＝at＝1×2 m/s＝2 m/s
2 s内的位移为 x＝at2＝2 m.
答案 2 m/s 2 m
二、从运动状况确定受力
1．基本思路
首先从物体的运动状况入手，应用运动学公式求得物体的加速度a，再在分析物体受力的基础上，机敏利用牛顿其次定律求出相应的力．
2．解题步骤
(1)确定争辩对象；对争辩对象进行受力分析，画出力的示意图；
(2)选取合适的运动学公式，求得加速度a；
(3)依据牛顿其次定律列方程，求得合力；
(4)依据力的合成与分解的方法，由合力求出所需的力
已知物体运动状况a物体受力状况．
例2 我国《侵权责任法》第87条“高空坠物连坐”条款规定：建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害，难以确定具体侵权人的，除能够证明自己不是侵权人外，由可能加害的建筑物使用人赐予补偿．近日，绵阳一小伙就借助该条款赢得了应有的赔偿．假设质量为5.0 kg的物体，从离地面36 m高处，由静止开头加速下落，下落过程中阻力恒定，经3 s落地．试求：
(1)物体下落的加速度的大小；
(2)下落过程中物体所受阻力的大小．(g取10 m/s2)
解析 (1)物体下落过程中做初速度为零的匀加速运动，
依据公式h＝at2可得：
a＝＝8 m/s2.
(2)依据牛顿其次定律可得mg－f＝ma，故f＝mg－ma＝10 N.
答案 (1)8 m/s2 (2)10 N
图463
针对训练 如图463所示，水平恒力F＝20 N，把质量m＝0.6 kg的木块压在竖直墙上，木块离地面的高度H＝6 m．木块从静止开头向下作匀加速运动，经过2 s到达地面．求：
(1)木块下滑的加速度a的大小；
(2)木块与墙壁之间的滑动摩擦系数．(g取10 m/s2)
解析 (1)木块从静止开头向下做匀加速运动，经过2 s到达地面，
由位移时间公式得，H＝at2
解得a＝＝3 m/s2.
(2)木块下滑过程受力分析如右图：
竖直方向，由牛顿其次定律有：G－f＝ma
水平方向：由平衡条件有：F＝N
f＝μN
联立解得μ＝＝0.21.
答案 (1)3 m/s2 (2)0.21
三、多过程问题分析
1．当题目给出的物理过程较简单，由多个过程组成时，要明确整个过程由几个子过程组成，将过程合理分段，找到相邻过程的联系点并逐一分析每个过程．联系点：前一过程的末速度是后一过程的初速度，另外还有位移关系等．
2．留意：由于不同过程中力发生了变化，所以加速度也会发生变化，所以对每一过程都要分别进行受力分析，分别求加速度．
图464
例3 冬奥会四金得主王濛于2022年1月13日亮相全国短道速滑联赛总决赛．她领衔的中国女队在混合3 000米接力竞赛中表现抢眼．如图464所示，ACD是一滑雪场示意图，其中AC是长L＝0.8 m、倾角θ＝37°的斜坡，CD段是与斜坡平滑连接的水平面．人从A点由静止下滑，经过C点时速度大小不变，又在水平面上滑行一段距离后停下．人与接触面间的动摩擦因数均为μ＝0.25，不计空气阻力．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)人从斜坡顶端A滑至底端C所用的时间；
(2)人在离C点多远处停下？
解析 (1)人在斜坡上下滑时，受力如图所示
设人沿斜坡下滑的加速度为a，沿斜坡方向，
由牛顿其次定律得
mgsin θ－Ff＝ma Ff＝μFN
垂直于斜坡方向有FN－mgcos θ＝0
由匀变速运动规律得L＝at2
联立以上各式得
a＝gsin θ－μgcos θ＝4 m/s2
t＝2 s.
(2)人在水平面上滑行时，水平方向只受到地面的摩擦力作用．
设在水平面上人减速运动的加速度为a′，
由牛顿其次定律得μmg＝ma′
设人到达C处的速度为v，则由匀变速运动规律得
下滑过程：v2＝2aL
水平面上：0－v2＝－2a′x
联立以上各式解得x＝12.8 m.
答案：(1)2 s (2)12.8 m
图465
针对训练 质量为m＝2 kg的物体静止在水平面上，物体与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，现在对物体施加如图465所示的力F，F＝10 N，θ＝37°(sin 37°＝0.6)，经t1＝10 s后撤去力F，再经一段时间，物体又静止．(g取10 m/s2)则：
(1)说明物体在整个运动过程中经受的运动状态．
(2)物体运动过程中最大速度是多少？
(3)物体运动的总位移是多少？
解析 (1)当力F作用时，物体做匀加速直线运动，撤去F时物体的速度达到最大值，撤去F后物体做匀减速直线运动．
(2)撤去F前对物体受力分析如图甲，有：Fsin θ＋FN1＝mg
Fcos θ－Ff＝ma1
Ff＝μFN1
x1＝a1t
v＝a1t1，
联立各式并代入数据解得x1＝25 m，v＝5 m/s.
(3)撤去F后对物体受力分析如图乙，
有：Ff′＝μmg＝ma2
2a2x2＝v2，代入数据得x2＝2.5 m
物体运动的总位移：x＝x1＋x2
得x＝27.5 m.
答案 (1)见解析 (2)5 m/s (3)27.5 m
从受力确定运动状况
1．如图466所示，某高速列车最大运行速度可达270 km/h, 机车持续牵引力为1.57×105N.设列车总质量为100 t，列车所受阻力为所受重力的0.1倍，假如列车在该持续牵引力牵引下做匀加速直线运动，那么列车从开头启动到达到最大运行速度共需要多长时间？(g取10 m/s2)
图466
解析 已知列车总质量m＝100 t＝1.0×105 kg，列车最大运行速度v＝270 km/h＝75 m/s，持续牵引力F＝1.57×105 N，列车所受阻力Ff＝0.1mg＝1.0×105 N.
由牛顿其次定律得F－Ff＝ma，
所以列车的加速度a＝＝ m/s2＝0.57 m/s2.
又由运动学公式v＝v0＋at，可得列车从开头启动到达到最大运行速度需要的时间为t＝＝ s≈131.58 s.
答案 131.58 s
从运动状况确定受力
2．“歼十”战机装备我军后，在各项军事演习中表现优异，引起了世界的广泛关注．如图467所示，一架质量m＝5.0×103 kg的“歼十”战机，从静止开头在机场的跑道上滑行，经过距离x＝5.0×102 m，达到起飞速度v＝60 m/s.在这个过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍．求飞机滑行时受到的牵引力多大？(g取10 m/s2)
图467
解析 滑行过程，飞机受重力G，支持力FN，牵引力F，阻力Ff四个力作用，在水平方向上，由牛顿其次定律得：
F－Ff＝ma ①
Ff＝0.02mg ②
飞机匀加速滑行v2－0＝2ax ③
由③式得a＝3.6 m/s2代入①②式得F＝1.9×104 N.
答案 1.9×104 N
多过程问题分析
3．静止在水平面上的物体的质量为2 kg，在水平恒力F推动下开头运动，4 s末它的速度达到4 m/s，此时将力撤去，又经6 s物体停下来，若物体与地面的动摩擦因数不变，求F的大小．
解析 前4 s物体做匀加速直线运动，
由运动学公式可得其加速度a1＝＝ m/s2＝1 m/s2①
物体在水平方向受恒力F和摩擦力Ff，由牛顿其次定律得：F－Ff＝ma1②
后6 s内物体做匀减速直线运动，其加速度为a2＝＝ m/s2＝－ m/s2③
且由牛顿其次定律知：－Ff＝ma2④
由①②③④联立得：F＝ma1＋Ff＝m(a1－a2)＝2×(1＋)N＝ N.
答案 N
4．物体以12 m/s的初速度从斜面底端冲上倾角为37°的斜坡，已知物体与斜面间的动摩擦因数为0.25(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：
(1)物体沿斜面上滑的最大位移；
(2)物体再滑到斜面底端时的速度大小．
解析 (1)物体上滑时受力分析如图甲所示，
垂直斜面方向：FN＝mgcos 37°
平行斜面方向：F＋mgsin 37°＝ma1
又F＝μFN
由以上各式解得物体上滑时的加速度大小：a1＝gsin 37°＋μgcos 37°＝8 m/s2
物体沿斜面上滑时做匀减速直线运动，速度为0时在斜面上有最大的位移
故上滑的最大位移x＝＝ m＝9 m.
(2)物体下滑时受力如图乙所示
垂直斜面方向：FN＝mgcos 37°
平行斜面方向：mgsin 37°－F＝ma2
又F＝μFN
由以上各式解得物体下滑时的加速度大小：a2＝gsin 37°－μgcos 37°＝4 m/s2
由v2＝2a2x解得物体再滑到斜面底端时的速度大小：v＝6 m/s.
答案 (1)9 m (2)6 m/s
(时间：60分钟)
题组一 从受力确定运动状况
1．假设汽车突然紧急制动后所受到的阻力的大小与汽车所受的重力的大小差不多，当汽车以20 m/s的速度行驶时突然制动，它还能连续滑动的距离约为( )
A．40 m B．20 m
C．10 m D．5 m
解析 a＝＝＝g＝10 m/s2，由v2＝2ax得x＝＝ m＝20 m，B对．
答案 B
2．在交通事故的分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动时留下的滑动痕迹．在某次交通事故中，汽车的刹车线长度是14 m，假设汽车轮胎与地面间的动摩擦因数恒为0.7，g取10 m/s2，则汽车刹车前的速度为( )
A．7 m/s B．14 m/s
C．10 m/s D．20 m/s
解析 设汽车刹车后滑动的加速度大小为a，由牛顿其次定律得：μmg＝ma，解得：a＝μg.由匀变速直线运动的速度位移关系式v＝2ax，可得汽车刹车前的速度为v0＝＝＝ m/s＝14 m/s，因此B正确．
答案 B
3．设洒水车的牵引力不变，所受的阻力与车重成正比，洒水车在平直路面上原来匀速行驶，开头洒水后，它的运动状况将是( )
A．连续做匀速运动 B．变为做匀加速运动
C．变为做匀减速运动 D．变为做变加速运动
解析 设洒水车的总质量为M，原来匀速时F牵＝Ff＝k·Mg，洒水后M减小，阻力减小，由牛顿其次定律得：F牵－kM′g＝M′a，a＝－kg，可见：a随M′的减小而增大，洒水车做变加速运动，只有D正确．
答案 D
题组二 从运动状况确定受力
4．某气枪子弹的出口速度达100 m/s，若气枪的枪膛长0.5 m，子弹的质量为20 g，若把子弹在枪膛内的运动看做匀变速直线运动，则高压气体对子弹的平均作用力为( )
A．1×102 N B．2×102 N
C．2×105 N D．2×104 N
解析 依据v2＝2ax，得a＝＝ m/s2＝1×104 m/s2，从而得高压气体对子弹的作用力F＝ma＝20×10－3×1×104 N＝2×102 N.
答案 B
5．行车过程中，假如车距不够，刹车不准时，汽车将发生碰撞，车里的人可能受到损害，为了尽可能地减轻碰撞所引起的损害，人们设计了平安带．假定乘客质量为70 kg，汽车车速为90 km/h，从踩下刹车闸到车完全停止需要的时间为5 s，平安带对乘客的平均作用力大小约为(不计人与座椅间的摩擦)( )
A．450 N B．400 N
C．350 N D．300 N
解析 汽车的速度v0＝90 km/h＝25 m/s，设汽车匀减速的加速度大小为a，则a＝＝5 m/s2
对乘客应用牛顿其次定律可得：F＝ma＝70×5 N＝350 N，所以C正确．
答案 C
图468
6．质量为m＝3 kg的木块放在倾角为θ＝30°的足够长斜面上，木块可以沿斜面匀速下滑．若用沿斜面对上的力F作用于木块上，使其由静止开头沿斜面对上加速运动，经过t＝2 s时间物体沿斜面上升4 m的距离，则推力F为(g取10 m/s2)( )
A．42 N B．6 N C．21 N D．36 N
解析 因木块能沿斜面匀速下滑，由平衡条件知：mgsin θ＝μmgcos θ，所以μ＝tan θ；当在推力作用下加速上滑时，由运动学公式x＝at2所以 a＝2 m/s2，由牛顿其次定律得：F－mgsin θ－μmgcos θ＝ma，得F＝36 N；故选D.
答案 D
题组三 多过程问题分析
图469
7．质量为0.1 kg的弹性球从空中某高度由静止开头下落，该下落过程对应的vt图象如图469所示．球与水平地面相碰后离开地面时的速度大小为碰撞前的.设球受到的空气阻力大小恒为f，取g＝10 m/s2，求：
(1)弹性球受到的空气阻力f的大小；
(2)弹性球第一次碰撞后反弹的高度h.
解析 (1)设弹性球第一次下落过程中的加速度大小为a1，由图知
a1＝＝ m/s2＝8 m/s2
依据牛顿其次定律，得
mg－f＝ma1
故f＝m(g－a1)＝0.2 N.
(2)由图知弹性球第一次到达地面时的速度大小为v1＝4 m/s，设球第一次离开地面时的速度大小为v2，则
v2＝v1＝3 m/s
第一次离开地面后，设上升过程中球的加速度大小为a2，则mg＋f＝ma2
得a2＝12 m/s2
于是，有0－v＝－2a2h，解得h＝ m.
答案 (1)0.2 N (2) m
8．滑冰车是儿童宠爱的冰上消遣项目之一．如图4610所示为小明妈妈正与小明在冰上玩耍，小明与冰车的总质量是40 kg，冰车与冰面之间的动摩擦因数为0.05，在某次玩耍中，假设小明妈妈对冰车施加了40 N的水平推力，使冰车从静止开头运动10 s后，停止施加力的作用，使冰车自由滑行．(假设运动过程中冰车始终沿直线运动，小明始终没有施加力的作用)．求：
图4610
(1)冰车的最大速率；
(2)冰车在整个运动过程中滑行总位移的大小．
解析 (1)以冰车及小明为争辩对象，由牛顿其次定律得F－μmg＝ma1
v冰＝a1t得v冰＝5 m/s.
(2)冰车匀加速运动过程中有x1＝a1t2
冰车自由滑行时有μmg＝ma2
v＝2a2x2
又x＝x1＋x2，得x＝50 m.
答案 (1)5 m/s (2)50 m
9．如图4611所示，斜面和水平面由一小段光滑圆弧连接，斜面的倾角为37°，一质量为0.5 kg的物块从距斜面底端5 m处的A点由静止释放，已知物块和斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.3.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)物块在水平面上滑行的时间为多少？
图4611
解析 物块先沿斜面加速下滑，设AB长度为L，动摩擦因数为μ，
下滑过程，依据牛顿其次定律：mgsin θ－μmgcos θ＝ma
a＝g(sin θ－μcos θ)＝3.6 m/s2
依据匀变速直线运动规律，物块到达B点时的速度：v＝＝6 m/s
在水平面上物块做匀减速运动，依据牛顿其次定律有：
－μmg＝ma′
a′＝－μg＝－3 m/s2
在水平面上运动的时间：t＝＝ s＝2 s.
答案 2 s
10．法国人劳伦特·菲舍尔在澳大利亚伯斯的冒险世界进行了超高空绝技跳水表演，他从30 m高的塔上竖直跳下并精确 地落入水池中．已知水对他的阻力(包括浮力)是他所受重力的3.5倍，设他起跳速度为零，在空中下落的加速度为8 m/s2，g取10 m/s2.试问：需要预备一个至少多深的水池？
解析 绝技演员在空中做匀加速运动，加速度a1＝8 m/s2.①
设他落到水面时的速度为v，水池深至少为h.由运动学公式得v2＝2a1H，②
他在水中做匀减速运动加速度
a2＝＝－25 m/s2.③
由运动学公式－v2＝2a2h④
由②④得a2h＝－a1H
h＝－H＝－×30 m＝9.6 m.
答案 9.6 m
11．总质量为m＝75 kg的滑雪者以初速度v0＝8 m/s沿倾角为θ＝37°的斜面对上自由滑行，已知雪橇与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，假设斜面足够长．(sin 37°＝0.6，g取10 m/s2，不计空气阻力)．试求：
(1)滑雪者沿斜面上滑的最大距离；
(2)若滑雪者滑行至最高点后掉转方向向下自由滑行，求他滑到起点时的速度大小．
解析 (1)上滑过程中，对人进行受力分析，如图甲所示，
甲
滑雪者受重力mg、支持力FN、摩擦力Ff作用，设滑雪者的加速度为a1.依据牛顿其次定律有：mgsin θ＋Ff＝ma1，a1方向沿斜面对下．
在垂直于斜面方向有：FN＝mgcos θ
又摩擦力Ff＝μFN
由以上各式解得：
a1＝g(sin θ＋μcos θ)＝8 m/s2
滑雪者沿斜面对上做匀减速直线运动，速度减为零时的位移x＝＝4 m，即滑雪者上滑的最大距离为4 m.
乙
(2)滑雪者沿斜面下滑时，对人受力分析如图乙所示，滑雪者受到斜面的摩擦力沿斜面对上，设加速度大小为a2.依据牛顿其次定律有：
mgsin θ－Ff＝ma2，a2方向沿斜面对下．
在垂直于斜面方向有：FN＝mgcos θ
又摩擦力Ff＝μFN
由以上各式解得：a2＝g(sin θ－μcos θ)＝4 m/s2
滑雪者沿斜面对下做初速度为零的匀加速直线运动，滑到动身点时的位移大小为4 m，此时滑雪者的速度大小为v＝＝4 m/s.
答案 (1)4 m (2)4 m/s
图4612
12．(2021四川资阳期末)如图4612所示，在倾角θ＝37°足够长的斜面底端有一质量m＝1 kg的物体，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.现用大小为F＝22.5 N、方向沿斜面对上的拉力将物体由静止拉动，经时间t0＝0.8 s撤去拉力F，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求：
(1)t0＝0.8 s时物体速度v的大小；
(2)撤去拉力F以后物体在斜面上运动的时间t.
解析 (1)在拉力作用下物体沿斜面对上做匀加速运动，作出物体受力分析如图所示．①
依据受力状况和牛顿运动定律有：
F－mgsin θ－f＝ma②
f＝μN＝μmgcos θ③
v＝at0④
联立并代入数据得：
v＝10 m/s.⑤
(2)撤去拉力后物体先向上做匀减速运动至速度为0后向下做匀加速运动至斜面底端．设向上运动时间为t1，向下运动时间为t2，拉力作用下物体发生的位移为x0，由牛顿运动定律有：
x0＝vt0⑥
向上运动时：
－mgsin θ－μmgcos θ＝ma1⑦
0－v＝a1t1⑧
x1＝vt1⑨
向下运动时：
mgsin θ－μmgcos θ＝ma2⑩
x0＋x1＝a2t⑪
t＝t1＋t2⑫
联解并代入数据得：
t＝4 s．⑬
答案 (1)10 m/s (2)4 s
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