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第十三章 选修4－4 其次节
一、填空题
1．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
[答案]
[解析] 本题考查参数方程与一般方程互化．
由题意知，曲线C1：y＝－2x＋3，C2：＋＝1，又知有一个公共点在x轴上，∴(a,0)在y＝－2x＋3，得a＝.
2．(2022·深圳一模)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2交点在直角坐标系中的坐标为________．
[答案] (2,5)
[解析] 将曲线C1的参数方程和曲线C2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C1：y＝x2＋1，C2：y－x＝3，
由解得或 (舍去)．
故交点坐标为(2,5)．
3．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
[答案] (φ为参数)
[解析] 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．将方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，则曲线C的参数方程为(φ为参数)．
4．(2021·芜湖模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是________．
[答案] (－3,4)或(－1,2)
[解析] 由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．
5．(2021·海淀模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
[答案] ±
[解析] 曲线C化为一般方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1⇒k＝±.
6．曲线(θ为参数)表示的曲线的直角坐标方程为________．
[答案] (x＋1)2＋(y－2)2＝1.
[解析] 消去参数θ，将参数方程化为一般方程，曲线可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
二、解答题
7．(2022·新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]．
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，依据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
[解析] (1)由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入得x2＋y2＝2x，∴(x－1)2＋y2＝1，
∵θ∈[0，]，∴0≤y≤1，
化为参数方程得(θ为参数，0≤θ≤π)．
(2)设D(1＋cosθ，sinθ)，∵切线与l垂直，设圆心为C，
∴CD∥l，∴kCD＝＝，∴θ＝，∴D(，)．
8．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos(θ－)＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．
[解析] (1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解
得
所以C1与C2交点的极坐标为(4，)，(2，)．
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝x－＋1.
所以解得
一、填空题
1．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
[答案] (θ为参数)
[解析] 将x2＋y2－x＝0配方得(x－)2＋y2＝，
∴圆的直径为1，设P(x，y)，则
x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，
y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，
∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为(θ为参数)．
2．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
[答案] (，)
[解析] 本题考查极坐标与参数方程．
由化为一般方程y＝(x－2)2 ①
由θ＝化为直角坐标方程y＝x ②
联立①②，∴(x－2)2＝x，即x2－5x＋4＝0，
∴x1＋x2＝5，∴中点坐标为(，)．
3．(2022·湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．
[答案] ρ(cosθ－sinθ)＝1
[解析] 曲线C的一般方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，由于弦长|AB|＝2，所以直线l过圆心(2,1)，所以直线l的方程为y＝x－1，化为极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ－1，即ρ(cosθ－sinθ)＝1.
4．设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
[答案] ρcos2θ－sinθ＝0
[解析] 由得y＝x2，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.
∴ρcos2θ－sinθ＝0.
5．在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．
[答案] 4
[解析] 本题考查的是参数方程及两直线的位置关系．
由l1：，得y＝x－，由l2：，得y＝x－1，∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.
6．(2022·重庆高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0 (ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.
[答案]
[解析] 本题考查了极坐标与参数方程以及与一般方程的互化．
直线的方程为x－y＋1＝0，极坐标方程化为一般方程为y2＝4x.它们的交点坐标是(1,2)，所以极径是.
解决极坐标与参数方程，一般是先化为一般方程后在解决相关问题．
三、解答题
7．(2022·辽宁高考)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
[解析] (1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上点(x，y)，依题意，得，由x＋y＝得x2＋()2＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1，
故C的参数方程为(t为参数)
(2)由解得或.
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则P1P2中点为(，1)，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝(x－)．
化为极坐标方程，得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，
即ρ＝.
8．已知曲线C1的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
[解析] (1)将消去参数t，化为一般方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将，代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
(2)C2的一般方程为x2＋y2－2y＝0.
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为(，)，(2，)．
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