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第2讲 不等式的证明
基础巩固题组
(建议用时：50分钟)
一、填空题
1．(2021·江苏卷改编)已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．
解析 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
由于a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.
答案 M≥N
2．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是________．
解析 由柯西不等式(2x2＋3y2)·
≥＝(x＋y)2＝1，
∴2x2＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立．
答案
3．若3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为________，最小值点为________．
解析 由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，
得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.
当且仅当＝时等号成立，为求最小值点，
需解方程组∴
因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.
答案
4．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系为________．
解析 ∵a≠b，∴＋＞2，＋＞2，
∴＋＋＋＞2＋2，
∴＋＞＋.即M＞N.
答案 M ＞N
5．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________．
解析 ∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]
≥＝18.
∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值为2.
答案 2
6．已知a，b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝9，则＋＋的最大值为________．
解析 ＋＋＝ ＋＋
≤＝，故最大值为.
答案
7．(2021·陕西卷)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
解析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2.
答案 2
8．已知x2＋2y2＋3z2＝，则3x＋2y＋z的最小值为________．
解析 ∵(x2＋2y2＋3z2)
≥(3x＋y·＋z·)2＝(3x＋2y＋z)2，
当且仅当x＝3y＝9z时，等号成立．
∴(3x＋2y＋z)2≤12，即－2≤3x＋2y＋z≤2.
当x＝－，y＝－，z＝－时，
3x＋2y＋z＝－2，∴最小值为－2.
答案 －2
9．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．
解析 法一 利用基本不等式
(＋＋)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋2·＋2·＋2·≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋[(3a＋1)＋(3b＋1)]＋[(3b＋1)＋(3c＋1)]＋[(3a＋1)＋(3c＋1)]
＝3[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]＝18，
∴＋＋≤3，
∴(＋＋)max＝3.
法二 利用柯西不等式
∵(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]≥(1·＋1·＋1·)2
∴(＋＋)2≤3[3(a＋b＋c)＋3]．
又∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤18，
∴＋＋≤3.
当且仅当＝＝时，等号成立．
∴(＋＋)max＝3.
答案 3
二、解答题
10．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.
证明 法一 ∵a，b，c均为正数，∴1＝a＋b＋c≥
3.又＋＋≥3＝，
∴·1≥3·3＝9.
即＋＋≥9.
法二 构造两组数：，，；，，.
因此依据柯西不等式有
[()2＋()2＋()2]
≥.
即(a＋b＋c)≥32＝9.
(当且仅当＝＝，即a＝b＝c时取等号)
又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥9.
11．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
解 (1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，
解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．
(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，
所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.
故ab＋1＞a＋b.
12．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c大于0，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
(1)解 ∵f(x＋2)＝m－|x|，
∴f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.
(2)证明 由(1)知＋＋＝1，且a，b，c大于0，
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝2b＝3c＝时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.
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