1、第2讲不等式的证明基础巩固题组(建议用时:50分钟)一、填空题1(2021江苏卷改编)已知ab0,M2a3b3,N2ab2a2b,则M,N的大小关系为_解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)由于ab0,所以ab0,ab0,2ab0,从而(ab)(ab)(2ab)0,故2a3b32ab2a2b.答案MN2已知xy1,那么2x23y2的最小值是_解析由柯西不等式(2x23y2)(xy)21,2x23y2,当且仅当2x3y,即x,y时,等号成立答案3若3x4y2,则x2y2的最小值为_,最小值点为_解析由柯西不等式(x2y2)(
2、3242)(3x4y)2,得25(x2y2)4,所以x2y2.当且仅当时等号成立,为求最小值点,需解方程组因此,当x,y时,x2y2取得最小值,最小值为,最小值点为.答案4若a,b均为正实数,且ab,M,N,则M,N的大小关系为_解析ab,2,2,22,.即MN.答案M N5设a,b,c是正实数,且abc9,则的最小值为_解析(abc)()2()2()218.2.的最小值为2.答案26已知a,b,c为正实数,且a2b3c9,则的最大值为_解析 ,故最大值为.答案7(2021陕西卷)已知a,b,m,n均为正数,且ab1,mn2,则(ambn)(bman)的最小值为_解析由柯西不等式(a2b2)(
3、c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc时“”成立,得(ambn)(bman)()2mn(ab)22.答案28已知x22y23z2,则3x2yz的最小值为_解析(x22y23z2)(3xyz)2(3x2yz)2,当且仅当x3y9z时,等号成立(3x2yz)212,即23x2yz2.当x,y,z时,3x2yz2,最小值为2.答案29已知a,b,c均为正数,且abc1,则的最大值为_解析法一利用基本不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)222(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18,3,()max3.法二利
4、用柯西不等式(121212)()2()2()2(111)2()233(abc)3又abc1,()218,3.当且仅当时,等号成立()max3.答案3二、解答题10设a,b,c为正数,且abc1,求证:9.证明法一a,b,c均为正数,1abc3.又3,1339.即9.法二构造两组数:,;,.因此依据柯西不等式有()2()2()2.即(abc)329.(当且仅当,即abc时取等号)又abc1,所以9.11设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M;(2)若a,bM,试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11,解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a,bM可知0a1,0b1,所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故ab1ab.12已知函数f(x)m|x2|,mR,且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值;(2)若a,b,c大于0,且m,求证:a2b3c9.(1)解f(x2)m|x|,f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解,得m0且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1,故m1.(2)证明由(1)知1,且a,b,c大于0,a2b3c(a2b3c)332229.当且仅当a2b3c时,等号成立因此a2b3c9.