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第4讲 复 数
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2022·江西卷)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝ ( )
A．1 B．2 C. D.
解析 ∵z(1＋i)＝2i，z＝＝1＋i，|z|＝.
答案 C
2．(2022·福建卷)复数(3＋2i)i等于 ( )
A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i
解析 (3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故选B.
答案 B
3．(2022·广东卷)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝ ( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
解析 z＝＝＝＝3＋4i，故选D.
答案 D
4．(2022·陕西卷)已知复数z＝2－i，则z·的值为 ( )
A．5 B. C．3 D.
解析 ∵z＝2－i，∴＝2＋i，
∴z·＝(2－i)(2＋i)＝22＋1＝5，故选A.
答案 A
5．(2021·东北三省四市联考)复数z满足(1＋i)z＝2i，则复数z在复平面内对应的点在 ( )
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 由(1＋i)z＝2i得z＝＝＝＝1＋i，则复数z在复平面内对应的点为(1，1)，该点在第一象限，故选A.
答案 A
6．(2021·合肥质量检测)已知复数z＝－2i，则的虚部为 ( )
A.i B. C.i D.
解析 复数＝＝＝的虚部是，故选B.
答案 B
7．设z是复数，则下列命题中的假命题是 ( )
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析 举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.
答案 C
8．(2022·成都诊断)设复数z＝3＋i(i为虚数单位)在复平面中对应点A，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OB，则点B在 ( )
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
解析 由于复数z对应点的坐标为(3，1)，所以点A位于第一象限，所以逆时针旋转后对应的点B在其次象限，故选B.
答案 B
二、填空题
9．(2022·湖南卷)复数(i为虚数单位)的实部等于______．
解析 ∵＝＝－3－i，∴的实部为－3.
答案 －3
10．(2022·浙江卷)已知i是虚数单位，计算＝________．
解析 ＝＝＝－－i.
答案 －－i
11．(2021·武汉调研)若复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i(m为实数，i为虚数单位)是纯虚数，则m＝________．
解析 复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，所以
解得m＝2.
答案 2
12．(2022·南京、盐城模拟)已知复数 z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为________．
解析 由z1z2＝(－2＋i)(a＋2i)＝－2a－2＋(a－4)i是实数得虚部a－4＝0，
解得a＝4.
答案 4
13．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．
解析 z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)，在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，∴m<.
答案
力量提升题组
(建议用时：10分钟)
14．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2; p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i; p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为 ( )
A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4
解析 利用复数的有关概念以及复数的运算求解．
∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题共有2个：p2，p4.
答案 C
15．设f(n)＝＋(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．很多个
解析 f(n)＝＋＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…
∴集合中共有3个元素．
答案 C
16．(2021·岳阳一中检测)已知复数z＝，则复数z在复平面内对应的点为________．
解析 ∵i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 013＝4×503＋1，2 014＝4×503＋2，∴z＝＝＝＝＝＝i，对应的点为(0，1)．
答案 (0，1)
17．定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝，则y＝________．
解析 由于x＝＝＝－i.
所以y＝＝＝－2.
答案 －2
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