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双基限时练(二十)
1．已知|a|＝6，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )
A．6＋ B．6－
C．6 D．7
解析 a·b＝|a||b|cos60°＝6×2×cos60°＝6.
答案 C
2．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析 cosθ＝＝＝－，∵θ∈[0°，180°]，
∴θ＝120°，故选D.
答案 D
3．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b＝( )
A．3 B.
C．2 D.
解析 由题意，得|a|cos〈a，b〉＝，
∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×＝.
答案 B
4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析 |2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2.
答案 B
5．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析 (a＋2b)·(a－b)＝a2＋2a·b－a·b－2b2
＝a2＋a·b－2b2＝－32，
又a·b＝|a||b|cos＝|a|×4×＝－2|a|，
∴|a|2－2|a|－2×42＝－32.
∴|a|＝2，或|a|＝0(舍去)．
答案 A
6．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
解析 由于2＝·＋·＋·＝·(－)＋·＝·＋·，所以·＝0，即⊥，所以三角形为直角三角形，选D.
答案 D
7．若平面对量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.
解析 设b＝(x，y)，则∴x2＝9.
∴x＝±3，又a＝(－1,2)与b方向相反．
∴b＝(3，－6)．
答案 (3，－6)
8．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________.
解析 由|ka＋b|＝|a－kb|，
得k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1×1cos60°＝，
∴k2－2k＋1＝0，∴k＝1.
答案 1
9．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为________．
解析 ∵|a|＝，a·(a＋b)＝1，
∴a2＋a·b＝2＋a·b＝1.
∴a·b＝－1.
设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案
10．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
解析 由于＝＋＋＝－＋＋＝－，
所以·＝(＋)·＝2＋·－2＝1＋×1×||cos60°－||2＝1，所以||－||2＝0，解得||＝.
答案
11．在△ABC中，||＝4，||＝9，∠ACB＝30°，
求·.
解 如图所示，
与所成的角为∠ACB的补角即150°，
又由于||＝4，||＝9，
所以·＝||·||cos150°＝4×9×＝－18.
12．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴|a|2－|b|2＝.∵|a|＝1，
∴|b|＝ ＝.
设a与b的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝，
∴|a－b|＝.
∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝，
∴|a＋b|＝.
设a－b与a＋b的夹角为α，则
cosα＝＝＝.
13．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时．
(1)求t的值(用a，b表示)；
(2)求证：b与a＋tb垂直．
(1)解 |a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b22＋a2－.当t＝－时，|a＋tb|取最小值．
(2)证明 (a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．
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