2021年新课标A版高中数学必修五检测：双基限时练2-正弦定理和余弦定理2-.docx

双基限时练(二)
1．在△ABC中，a2＋b2<c2，则这个三角形肯定是(　　)
A．锐角三角形　　　　　 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析　由a2＋b2<c2，知cosC＝<0，
又0<C<π，∴C为钝角．故△ABC为钝角三角形．
答案　B
2．在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，则C＝(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．45°或135°
解析　由cosC＝＝＝，
又0°<C<180°，∴C＝60°.
答案　A
3．在△ABC中，a：b：c＝3：5：7，则△ABC的最大角是(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析　由a：b：c＝3：5：7，知最大边为c，
∴最大角为C，设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，则cosC＝＝－，又0°<C<180°，∴C＝120°.
答案　D
4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是(　　)
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
解析　由b2＝ac及余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos60°，
即ac＝a2＋c2－ac，
∴(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
答案　B
5．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为(　　)
A．19 B．14
C．－18 D．－19
解析　由余弦定理，得cosB＝
＝＝.
∴·＝||||cos〈，〉＝7×5×＝－19.
答案　D
6．在△ABC中，已知a，b是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝____________.
解析　由韦达定理，得a＋b＝5，ab＝2.
由(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，
得a2＋b2＝52－2×2＝21.
∴c2＝a2＋b2－2abcos120°＝23.
∴c＝.
答案　
7．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值为____________．
解析　c2＝a2＋b2－2abcosC＝72＋82－2×7×8×＝9.
∴c＝3，因此最大角为B，由余弦定理，得
cosB＝＝－.
答案　－
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝__________.
解析　由余弦定理，得
cosB＝＝＝－，∴B＝.
答案　
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，则角C＝________.
解析　由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，
得(a＋b)2－c2＝ab，即
a2＋b2－c2＝－ab.
由余弦定理，得
cosC＝＝－.∴c＝.
答案　
10．在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，推断△ABC的外形．
解　由余弦定理，知cosB＝＝＝－.
在△ABC中，0°<B<180°，∴90°<B<180°.
∴△ABC为钝角三角形．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
解　(1)依据正弦定理及2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC，
得2sinBcosA＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB.
∵sinB≠0，∴cosA＝.
∵0<A<π，∴A＝.
(2)依据余弦定理得
7＝a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc，
∵b＋c＝4，∴bc＝3.
12．在△ABC中，m＝，
n＝，且m与n的夹角为.
(1)求C；
(2)已知c＝，三角形面积S＝，求a＋b.
解　(1)∵m＝(cos，sin)，
n＝(cos，－sin)，
∴m·n＝cos2－sin2＝cosC.
又m·n＝|m|·|n|cos＝，
∴cosC＝.又0<C<π，
∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝，
∴＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab.
∵S＝absinC＝absin＝ab，
而S＝，∴ab＝6.
∴(a＋b)2＝＋3ab＝＋18＝.
∴a＋b＝.