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3.3.3 函数的最大(小)值与导数
课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．最大值：假如在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有______________，则称f(x0)为函数在______________的最大值．
2．一般地，假如在区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条______________的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是____________；(2)函数图象在区间上的每一点必需______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．
3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在(a，b)内的________；
(2)将f(x)的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值确定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有微小值，则微小值确定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则微小值确定是x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
2．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( )
A．f(1)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)
3．函数y＝在[0,2]上的最大值是( )
A．当x＝1时，y＝ B．当x＝2时，y＝
C．当x＝0时，y＝0 D．当x＝，y＝
4．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为( )
A. B．1 C．0 D．不存在
5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4 C．－1 D．0
6．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B. C．－ D．－或－
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝ln x－x在(0，e]上的最大值为________．
8．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为__________________．
9．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为________．
三、解答题
10．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
11．已知f(x)＝x3－x2－x＋3，x∈[－1,2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m的取值范围．
力气提升
12．设函数f(x)＝x2ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
13．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a、b的值．
1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．
2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要留意对字母的分类争辩；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．
3．3.3 函数的最大(小)值与导数
答案
学问梳理
1．f(x)≤f(x0) 定义域上
2．连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点四周
3．(1)极值 (2)端点处的函数值f(a)，f(b) 最大 最小
作业设计
1．D [函数f(x)在[a，b]上的极值不愿定是最值，最值也不愿定是极值，极值确定不会在端点处取得，而在[a，b]上确定存在最大值和最小值．]
2．D [f′(x)＝2x－4，令f′(x)＝0，得x＝2.
∵f(1)＝－2，f(2)＝－3，f(5)＝6.
∴最大值为f(5)，最小值为f(2)．]
3．A [y′＝＝，令y′＝0得x＝1.
∵x＝0时，y＝0，x＝1时，y＝，x＝2时，y＝，
∴最大值为 (x＝1时取得)．]
4．A [y′＝－.由y′＝0，得x＝.
又0<x<时，y′>0，<x<1时，y′<0，
所以ymax＝ ＋ ＝ .]
5．B [∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，
∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.]
6．C [y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上单调递减，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解得a＝－或
a＝－(舍去)．]
7．－1
解析 f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0得0<x<1，令f′(x)<0得x<0或x>1，∴f(x)在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．
∴当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.
8.
解析 ∵x∈，∴f′(x)＝excos x≥0，
∴f(0)≤f(x)≤f.
即≤f(x)≤e.
9．20
解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，
得x＝1，(x＝－1舍去)．
∵f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a.
∴M＝18－a，N＝－2－a.∴M－N＝20.
10．解 (1)f′(x)＝＋cos x.
令f′(x)＝0，又∵0≤x≤2π，
∴x＝或x＝.
∴f＝＋，f＝－，
又∵f(0)＝0，f(2π)＝π.
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)
＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.
11．解 由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，
知m>f(x)max，
f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，
解得x＝－或x＝1.
由于f(－)＝，
f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5.
所以f(x)的最大值为5，
故m的取值范围为(5，＋∞)．
12．解 (1)f′(x)＝xex＋x2ex＝x(x＋2)．
由x(x＋2)>0，解得x>0或x<－2，
∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的增区间，
由x(x＋2)<0，得－2<x<0，
∴(－2,0)为f(x)的减区间．
∴f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；
单调减区间为(－2,0)．
(2)令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
∵f(－2)＝，f(2)＝2e2，f(0)＝0，
∴f(x)∈[0,2e2]，
又∵f(x)>m恒成立，∴m<0.
故m的取值范围为(－∞，0)．
13．解 ∵f(x)＝ax3－6ax2＋b，
∴f′(x)＝3ax2－12ax.
令f′(x)＝0，解得x＝0或4.
∵4 [－1,2]，故舍去，
∴f(x)取最大值，最小值的点在x＝－1、0、2上取得，
f(－1)＝－7a＋b，f(0)＝b，
f(2)＝－16a＋b.
当a>0时，最大值为b＝3，
最小值为－16a＋b＝－29，解得
当a<0时，最大值为－16a＋b＝3，b＝－29，
解得，
综上所述：或.
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