高中数学(北师大版)必修三教案：3.3-例谈几何概型的计算.docx

例谈几何概型的计算
几何概型是将古典概型的有限性推广到无限性，而保留等可能性的一种求概率的方法．它是借助测度来表示样本区域与所考察的样本．
几何概型的计算一般按下列步骤进行：
（1）选取合适的模型，即样本区域Ｄ；
（2）在坐标系中正确表示Ｄ与所求概率大事A所在的区域d；
（3）计算D与d的测度；
（4）计算概率．
例1　在区间中随机地取出两个数，求这两个数的和小于的概率．

分析：解决本题的关键是如何将其归结为一个几何概型，设x，y分别表示随机所取的两个数，则由题意知x，y均等可能地在（0，1）中取值，从而（x，y）等可能地在平面区域中取值，将Ｄ作为样本区域，这就是一个几何概型问题．
解：如图1，设x、y分别表示从（0，1）中取出的两个数，
则样本区域．
记A为大事“两个数的和小于”，
即，
由于Ｄ的面积，
A的面积．
于是由几何概型的概率公式得到．
例2　甲、乙两人相约于下午1:00～2:00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的，设在1:00～2:00之间有四班客车开出，开车时间分别是1:15，1:30，1:45，
2:00，分别求他们在下述状况下同坐一班车的概率．
（1）商定见车就乘；
（2）商定最多等一班车．
分析：本题是几何概型中的典型例题——约会问题的变形．分别作出表示大事的所在区域，利用构造思想及数形结合思想，结合几何概型学问加以解决．

解：设甲、乙到站时间分别是x时，y时，
则１≤x≤2，1≤y≤2，
试验区域D为点（x，y）所形成的正方形，以16个小方格表示，如图2所示．
（1）如图3，商定见车就乘的大事所表示的区域d为图中4个黑的小方格所示，所求概率为；
（2）如图4，商定最多等一班车的大事所表示的区域d为图中10个黑的小方格所示，所求概率为．

例3　随机地向半圆内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比，求该点与原点连线与x轴的夹角小于的概率．
分析：题目中“随机地”即表示试验结果的等可能性，“点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比”更强调试验的等可能性，由于试验结果是无限个，因此简洁想到用几何概型来计算．
　　解：如图5，设大事A表示“点与原点连线与x轴的夹角小于的概率”．

于是样本区域，
即为图5中的半圆，其面积为；
而，其面积为．
由几何概型的概率公式有．