高中数学(北师大版)必修三教案：3.3-辨析几何概型疑点及生活中的应用.docx

辨析几何概型疑点及生活中的应用
一、几何概型的定义
1.几何概型的定义:假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型．
2．几何概型的概率计算公式，在几何概型中，大事A的概率的计算公式如下：

二、疑点辨析
1.概率为零的大事不肯定是不行能大事
不行能大事的概率肯定为零，即若，则。但反之不然，概率为零的大事却不肯定是不行能大事，即若，则不肯定有。
例如,在几何概率中，设，.为圆域，而为其中一圆周.则
。
明显，是可能发生的，即若向内随机投点，点落在圆周上的状况是可能发生的。
仅在样本点有限（比如古典概型）或样本点可数这种特殊的状况下,若，则。
2.在求解几何概率问题时,几何度量找不准是经常出错的缘由之一.
例 在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.
错解:由于 所以,于是。
错解分析：本题误把长度看作几何度量．
正确解法：设三条线段的长度分别为则
即.
在平面上建立如图所示的直角坐标系，直线围成如图所示三角形区域G，每一对对应着G内的点，由题意知,每个试验结果消灭的可能性相等，因此，试验属于几何概型，三条线段能构成三角形，当且仅当
即
x
y
O
1
1
G
1/2
1/2
g

因此图中的阴影区域就表示“三条线段能构成三角形”,简洁求得的面积为,的面积为,则(这三条线段能构成三角形).
三、生活应用解疑解:在奖品的诱惑面前要冷静
在一所学校的门口有人设一玩耍（如图）吸引很多学校生参与。学校生每转动指针一次交5角钱，若指针与阴影重合，奖5角钱；若连续重合2次奖文具盒一个；若连续重合3次，奖书包一个；若连续重合4次，奖电子玩耍机一台。不少同学被高额奖品所诱惑，纷纷参与此玩耍，却很少有人得到奖品，这是为什么呢？
利用几何概率可以解释这个问题。由于指针位于圆周上阴影部分才能得奖，设圆周周长为100cm，阴影部分位于圆周上的每一弧长为2cm，由几何概型及指针的对称性知，指针落于阴影上的概率为

即参与一次玩耍不用花钱的概率为0.08.由于每次转动可看成相互独立的随机大事(即若
表示大事与同时发生,则)，设={指针与阴影连续重合次}，则
，

可见，参与玩耍者得奖的概率很小，得到一个文具盒的可能性仅有0.0064，那么要想得到玩耍机，则几乎是天方夜谭。由小概率原理可知，只参与一次玩耍，几乎不行能中奖。所以，这是一个骗人的把戏.