资源描述
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(十三)
一、选择题
1.函数y=cos(2x+1)的导数是( )
(A)y′=sin(2x+1)
(B)y′=-2xsin(2x+1)
(C)y′=-2sin(2x+1)
(D)y′=2xsin(2x+1)
2.(2021·合肥模拟)若抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角
形的面积为16,则a=( )
(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±8
3.(2021·泉州模拟)下列曲线的全部切线构成的集合中，存在很多对相互垂直的切线的曲线是( )
(A)f(x)＝ex (B)f(x)＝x3
(C)f(x)＝ln x (D)f(x)＝sin x
4.(2021·青岛模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )
(A)2 (B)- (C)4 (D)-
5.如图,其中有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)为( )
(A)2 (B)- (C)3 (D)-
6.(2021·南平模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相
切,则a等于( )
(A)-1或 (B)-1或
(C)-或 (D)-或7
二、填空题
7.如图，函数F(x)＝f(x)＋的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝_________.
8.设a＞0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则点P到曲线y＝f(x)的对称轴的距离的取值范围为___________.
9.(力气挑战题)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 .
三、解答题
10.求下列各函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).
(2)y=.
(3)y＝e-xsin 2x.
11.已知曲线y=,
(1)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
(2)求曲线的斜率为4的切线方程.
12.(力气挑战题)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值.
(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？假如存在，求出k的值；假如不存在，说明理由．
答案解析
1.【解析】选C. y′=-sin(2x+1)·(2x+1)′
=-2sin(2x+1).
2.【解析】选B.y′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.
3.【解析】选D.设切点的横坐标为x1，x2,
则存在很多对相互垂直的切线，即f′(x1)·f′(x2)＝-1有很多对x1，x2使之成立,
对于A由于f′(x)＝ex＞0，
所以不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；
对于B由于f′(x)＝3x2≥0，
所以也不存在f′(x1)·f′(x2)＝－1成立；
对于C由于f(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝＞0;
对于D,由于f′(x)＝cos x，
所以f′(x1)·f′(x2)＝cos x1·cos x2，
若x1＝2mπ，m∈Z,x2＝(2k＋1)π，k∈Z，
则f′(x1)·f′(x2)＝－1恒成立．
4.【解析】选C.由于曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以
g′(1)=2.又f′(x)=g′(x)+2x,
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.
5.【解析】选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),
∴导函数f′(x)的图象开口向上.
又∵a≠0,∴其图象必为(3).
由图象特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,
∴a=-1,故f(-1)=-.
6.【思路点拨】先设出切点坐标,再依据导数的几何意义写出切线方程,最终由点(1,0)在切线上求出切点后再求a的值.
【解析】选A.设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0, x03),所以切线方程为y- x03=3x02(x-x0),
即y=3x02x-2x03.又(1,0)在切线上,则x0=0或x0=,
当x0=0时,由y=0与y=ax2+x-9相切可得Δ=()2-4a(-9)=0,
解得a=,
同理,当x0=时,由y=x-与y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以选A.
【方法技巧】导数几何意义的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:k=f′(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.
7.【解析】F′(x)＝f′(x)＋x，
由题意可知F′(5)＝f′(5)＋2＝－1，
∴f′(5)＝－3.
又点(5,3)在F(x)的图象上，∴f(5)＋5＝3，
∴f(5)＝－2，∴f(5)＋f′(5)＝－5.
答案：－5
8.【解析】∵y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，∴0≤f′(x0)≤1，即0≤2ax0＋b≤1.又∵a＞0,
∴≤x0≤，∴0≤x0＋≤，即点P到曲线y＝f(x)的对称轴的距离的取值范围为［0，］．
答案：［0，］
9.【思路点拨】求出导函数,依据导函数有零点,求a的取值范围.
【解析】由题意该函数的定义域为(0,+∞),且f′(x)=2ax+.由于存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为x>0时导函数f′(x)=2ax+存在零点的问题.
方法一(图象法):再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点.
当a=0时不符合题意,当a>0时,如图1,数形结合可得没有交点,当a<0时,如图2,此时正好有一个交点,故有a<0,应填(-∞,0).
方法二(分别变量法):上述也可等价于方程2ax+=0在(0,+∞)内有解,明显可得a=∈(-∞,0).
答案:(-∞,0)
10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
∴y′=3x2+12x+11.
方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′
=[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)
=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)
=3x2+12x+11.
(2)∵y=,
∴y′=.
(3)y′＝(－e－x)sin 2x＋e－x(cos 2x)×2
＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．
11.【解析】(1)设曲线y=与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x03+)，则切线的斜率k=，∴切线方程为y-()=x02(x-x0)，即
y=x02·x-x03+.
∵点P(2,4)在切线上，∴4=，即x03-3x02+4=0，∴x03+x02-4x02+4=0，
∴(x0+1)(x0-2)2=0,
解得x0=-1或x0=2,
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
(2)设切点为(x0,y0),
则切线的斜率为k= x02=4,x0=±2,所以切点为(2,4),(-2,-),
∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+=4(x+2),
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0.
【变式备选】已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程.
(2)假如曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
【解析】(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13,
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)∵切线与直线y=-x+3垂直,
∴切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x02+1=4,
∴x0=±1,
∴∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
12.【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，
即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在.∵直线m恒过定点(0,9)，直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3x02＋6x0＋12)，
∵g′(x0)＝6x0＋6，
∴切线方程为y－(3x02＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将点(0,9)代入，得
x0＝±1，
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
即有x＝－1或x＝2，
当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.
∴公切线是y＝9.
又令f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
∴x＝0或x＝1.
当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，
∴公切线不是y＝12x＋9.
综上所述公切线是y＝9，此时k＝0.
关闭Word文档返回原板块。
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
