【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：3.4.docx

第三章 3.4 第4课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．下列值等于1的积分是(　　)
A.xdx　　　　　　　　　B.(x＋1)dx
C.1dx D. dx
答案　C
2．m＝exdx与n＝dx的大小关系是(　　)
A．m>n B. m<n
C．m＝n D．无法确定
答案　A
解析　m＝exdx＝ex＝e－1，
n＝dx＝lnx＝1，m≈1.72>1，
∴m>n故选A.
3．依据sinxdx＝0推断，直线x＝0，x＝2π，y＝0和正弦曲线y＝sinx所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为(　　)
A．面积为0
B．曲边梯形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积
C．曲边梯形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积
D．曲边梯形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积
答案　D
解析　y＝ sinx在[0,2π]上关于(π，0)对称，sinxdx＝sinxdx＋sinxdx＝0.
4．已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于(　　)
A．0 B．4
C．8 D．16
答案　D
解析　原式＝ f(x)dx＋f(x)dx，
∵原函数为偶函数，
∴在y轴两侧的图象对称．
∴对应的面积相等.8×2＝16，故选D.
二、填空题
5． (sinx＋acosx)dx＝2，则实数 a等于________．
答案　1
解析　 (sinx＋acosx)dx＝(－cosx＋asinx) ＝(－cos＋asin)－(－cos0＋asin0)
＝a＋cos0＝a＋1＝2，∴a＝1.
6．f(x)＝，则f(x)dx为________．

答案　π
解析　由y＝＝，(x－1)2＋y2＝4，(y≥0)
∴dx是圆面积的∴等于·π·22＝π.
7由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为________．
答案　
解析　由题可知y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为(x2－x3)dx＝(x3－x4)＝－＝.
8．设f(x)＝则f(x)dx＝______
答案　

解析　f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋(2x－x2)
＝＋4－2－2＋＝.
9．有一根弹簧，原长50 cm，每伸长1 cm需要5 g力，假如把它从60 cm，拉伸80 cm长，那么拉力F(x)所做的功为______(g·cm)．
答案　2000
解析　F(x)＝kx，F(x)＝5 g力，x＝1(cm)，则5＝k·1，k＝5.∴F(x)＝5x.
弹簧由50 cm，伸长到80 cm，弹簧实际伸长了由0到30 cm，此时做的功为：
F(x)dx＝5xdx＝x2＝×900＝2250.
弹簧由50 cm，伸长到60 cm，弹簧实际伸长了10 cm，此时做的功为：
F(x)dx＝5xdx＝x2＝×100＝250.
所以把它从60 cm，位伸到80 cm长，F(x)所做的功为2250－250＝2000(g·cm)

10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．
答案　－1
解析　f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．
S阴影＝－(－x3＋ax2)dx＝a4＝，∴a＝－1.
11．一条平面曲线在点x处的切线斜率为2x，并且经过点(3,5)，则该曲线方程______
答案　y＝x2－4
解析　由题意知该曲线应满足y＝∫2xdx＝x2＋C且过点(3,5)，∴5＝32＋C，C＝－4，故该曲线方程是y＝x2－4.
12．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝2f(x0)，x0>0，则x0＝________
答案　
解析　f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝(ax3＋bx) ＝a＋2b＝2(ax＋b)，
∴a＝2ax.又x0>0∴x0＝
三、解答题
13．求由抛物线y2＝x－1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积
解析　y＝±.y′x＝±(x－1)－.

∵过点(2,1)的直线斜率为y′|x＝2＝(2－1)－＝，
直线方程为y－1＝(x－2)，即y＝x.同理，过点(2，－1)的直线方程为y＝－x，抛物线顶点在(1,0)．如图所示，
由抛物线y2＝x－1与2条切线y＝x，y＝－x围成的面积为：
S＝S△AOB－2dx＝·2·2－2··(x－1) ＝2－(1－0)＝.
14．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法求积分f(x)dx的近似值
答案　
解析　由均匀随机数产生的原理知：在区间[0,1]满足yi≤f(xi)的点都落在了函数y＝f(x)的下方，又由于0≤f(x)≤1，所以由围成的图形的面积是，由积分的几何意义知f(x)dx＝.

15．如图，已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－x2＋2ax(a>1)交于点O，A，直线x＝t(0<t≤1)与曲线C1，C2分别相交于点D，B，连结OD，DA，AB，OB.
(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S与t的函数关系式S＝f(t)；
(2)求函数S＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．
解　(1)由，解得或.
∴O(0,0)，A(a，a2)．
又由已知得B(t，－t2＋2at)，D(t，t2)，
∴S＝(－x2＋2ax)dx－t×t2＋(－t2＋2at－t2)×(a－t)
＝(－x3＋ax2)|－t3＋(－t2＋at)×(a－t)
＝－t3＋at2－t3＋t3－2at2＋a2t
＝t3－at2＋a2t.
∴S＝f(t)＝t3－at2＋a2t(0<t≤1)．
(2)f′(t)＝t2－2at＋a2，
令f′(t)＝0，即t2－2at＋a2＝0.
解得t＝(2－)a或t＝(2＋)a.
∵0<t≤1，a>1.
∴t＝(2＋)a应舍去．
若(2－)a≥1，即a≥＝时，
∵0<t≤1，∴f′(t)≥0.
∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，
S的最大值是f(1)＝a2－a＋.
若(2－)a<1，即1<a<时，
当0<t<(2－)a时f′(t)>0.
当(2－)a<t≤1时，f′(t)<0.
∴f(t)在区间(0，(2－)a]上单调递增，
在区间((2－)a,1]上单调递减．
∴f(t)的最大值是
f((2－)a)＝[(2－)a]3－a[(2－)a]2＋a2(2－)a＝a3.