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课时提升作业(二十五)
平面对量的数量积
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.△ABC中A(2,1),B(0,4),C(5,6),则=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选C.由已知得=(-2,3),=(3,5),所以=-2×3+3×5=9.
2.(2021·厦门模拟)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于
( )
A.-π4 B.π6 C.π4 D.3π4
【解析】选C.由于2a+b=(3,3),a-b=(0,3),
设2a+b与a-b的夹角为α,
所以cosα==932·3=22.
又α∈[0,π],故α=π4.
3.(2021·滨州模拟)已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=( )
A.-3 B.-2 C.-1 D.1
【解题提示】利用坐标表示a+2b,再利用垂直条件得方程求解.
【解析】选A.由已知得a+2b=(,3),
故(a+2b)·c=(,3)·(k,)=k+3=0.
解得k=-3.
【加固训练】已知平面对量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.当m=1时,(a-b)·a=a2-a·b=1-1×2×cos 60°=0,故(a-b)⊥a;反之当(a-mb)⊥a时,有(a-mb)·a=a2-ma·b=1-m·(1×2×cos 60°)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)⊥a”的充要条件.
4.( 2021·铜陵模拟)如图,在圆C中,点C是圆心,点A,B在圆上,AB→·AC→的
值( )
A.只与圆C的半径有关
B.只与弦AB的长度有关
C.既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关
D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值
【解析】选B.如图,作CM⊥AB,则M是AB的中点,
AB→·AC→=|AB→||AC→|cos∠CAM=|AB→|·|AM→|=12|AB→|2.故选B.
5.(2021·宁德模拟)在△ABC中,∠A=120°,=-1,则||的最小值
是( )
A. B.2 C. D.6
【解析】选C.由
当且仅当时等号成立.
所以||≥,故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2022·江西高考)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=13,若向量a=3e1-2e2,则|a|= .
【解析】a·a=(3e1-2e2)2=9-12e1·e2+4
=9-12×13+4=9,故|a|=3.
答案:3
7.在平面直角坐标系xOy中,已知则实数λ的值为 .
【解析】由已知得=(-3,3),设C(x,y),
则=-3x+3y=0,所以x=y.
=(x-3,y+1).
又,即(x-3,y+1)=λ(0,2),
所以由x=y得,y=3,所以λ=2.
答案:2
8.(2021·东营模拟)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a的夹角为 .
【解析】由|a+b|=|a-b|,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以(a+b)·a=a2+a·b=|a|2.
故向量a+b与a的夹角θ的余弦值为
cosθ==.又0≤θ≤π,所以θ=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知平面对量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a⊥b,求x的值.
(2)若a∥b,求|a-b|.
【解析】(1)由a⊥b得,2x+3-x2=0,即(x-3)(x+1)=0.解得x=3或x=-1.
(2)由a∥b,则2x2+3x+x=0,即2x2+4x=0,得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0).
此时|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2), b=(-1,2),
则a-b=(2,-4).
故|a-b|=
10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ.
(2)求|a+b|.
(3)若=a,=b,求△ABC的面积.
【解析】(1)由于(2a-3b)·(2a+b)=61,
所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,
所以a·b=-6,
所以cosθ=
又0≤θ≤π,所以θ=π.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2
=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.
(3)由于的夹角θ=π,所以∠ABC=又||=|a|=4,
||=|b|=3,
所以
(20分钟 40分)
1.(5分)在△ABC中,AB=4,AC=3,=1,则BC=( )
【解题提示】利用已知条件,求得夹角的余弦,再用余弦定理求BC.
【解析】选D.设∠A=θ,
由于,AB=4,AC=3,
所以
2.(5分)(2021·太原模拟)在△ABC中,设那么动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
【解析】选C.假设BC的中点是O,则 即所以动点M在线段BC的中垂线上,所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心.
【加固训练】(2021·兰州模拟)若△ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且=0,则△ABC确定是( )
A.等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
【解析】选C.由于所以=0,即,又A,B,C度数成等差数列,故2B=A+C,又A+B+C=π,
所以2B=π-B,所以3B=π,B=,
故△ABC是等边三角形.
3.(5分)(2021·日照模拟)已知a=(2,-1),b=12,λ,则“向量a,b的夹角为锐角”是“λ<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.若向量a,b的夹角是锐角,
则a·b=1-λ>0,且a与b不共线同向,即λ<1且λ≠-14.
故“向量a,b的夹角为锐角”⇒“λ<1”,反之不成立.
所以选A.
4.(12分)已知点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ).
(1)若的值.
(2)若=1,其中O为坐标原点,求sinθ·cosθ的值.
【解析】由于A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ),
所以=(2sinθ-1,cosθ),=(2sinθ,cosθ-1).
(1)
所以
化简得2sinθ=cosθ,所以tanθ=,
所以
(2)=(2sinθ,cosθ),
所以=(1,2),由于=1,
所以2sinθ+2cosθ=1.所以(sinθ+cosθ)2=,
所以sinθ·cosθ=-.
5.(13分)(力气挑战题)已知平面对量a,b满足|a|=,|b|=1,
(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值.
(2)若对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求a与b的夹角.
【解析】 (1)由于|a|=,|b|=1,|a-b|=2.
所以|a-b|2=4,即a2-2a·b+b2=4,2-2a·b+1=4,所以a·b=-.设a与b的夹角为θ,
(2)令a与b的夹角为θ.
由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2,
化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|·|b|cosθ≥0,
由于|a|=,|b|=1,
所以(x2-1)+(2x-2)cosθ≥0,
当x=1时,式子明显成立;
【一题多解】本题(2)还可有如下解法:
令a与b的夹角为θ,由|a+xb|≥|a+b|,
得(a+xb)2≥(a+b)2,
由于|a|=,|b|=1,
所以x2+2xcosθ-2cosθ-1≥0,
对一切实数x恒成立,
所以Δ=8cos2θ+8cosθ+4≤0,
即(cosθ+1)2≤0,故cosθ=-,
由于θ∈[0,π],所以θ=π.
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