2021届高考文科数学二轮复习提能专训12-与数列交汇的综合问题.docx

提能专训(十二)　与数列交汇的综合问题　
一、选择题
1．(2022·吉林试验中学)若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且S11＝，则tan a6的值为(　　)
A.　　　B．－　　　C．±　　　D．－
答案：B
解析：∵S11＝＝11a6＝，
∴a6＝，∴tan a6＝tan＝－.
2．(2022·安徽合肥二次联考)在△ABC中，tan A是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是________三角形．(　　)
A．等腰直角 B．钝角
C．锐角 D．非等腰的直角
答案：C
解析：依题意知d＝tan A＝＝＝2，
q＝tan B＝＝＝3.
∴tan(A＋B)＝＝＝－1<0，
∴A＋B为钝角，故C为锐角．易知A，B均为锐角．
∴△ABC为锐角三角形．
3．(2022·河南安阳调研)等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，….且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)
A．(n－1)2 B．(n＋1)2
C．n(2n－1) D．n2
答案：D
解析：∵等比数列{an}满足an>0，a5·a2n－5＝22n(n≥3)，∴a5·a2n－5＝(an)2＝22n，∴an＝2n.
∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2(an)n＝log2(2n)n＝log22n2＝n2.
4．(2022·上海浦东新区第一学期期末质量抽测)已知函数f(x)＝，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＋f(2 014)＋f＋f＋…＋f＋f＝(　　)
A．2 010 B．2 011 C．2 012 D．2 013
答案：D
解析：这种类型求和问题，一般都是配对分组，观看式子的特征，争辩发觉f(x)＋f＝1，因此把式子中f(k)与f合并使每个和都为1，共有2 013个1，而f(1)＝，故结论为D.
5．以双曲线－＝1的离心率为首项，以函数f(x)＝4x－2的零点为公比的等比数列的前n项的和Sn＝(　　)
A．3×(2n－1)－ B．3－
C.－ D.－
答案：B
解析：由双曲线方程易得e＝＝，函数零点为，故由公式可得Sn＝＝3＝3－，故选B.
6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为(　　)
A．4 B. C．－4 D．－14
答案：A
解析：由题意得，S5＝＝55，故a1＋a5＝22，依据等差数列的性质可知a1＋a5＝2a3＝22，故a3＝11，由于a4＝15，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为kPQ＝＝＝4，故选A.
7．(2022·西宁四校联考)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，令an＝f(n＋1)＋f(n)，n∈N*，记数列的前n项和为Sn，则Sn＝10时，n的值是(　　)
A．110 B．120 C．130 D．140
答案：B
解析：本题考查幂函数的意义与数列的求和，难度中等．
设f(x)＝xα，则4α＝2，α＝，f(x)＝，＝＝－，数列的前n项和Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10得n＝120，故选B.
8．(2022·陕西质检)已知函数f(x)＝(1－3m)x＋10(m为常数)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}前100项的和为(　　)
A．39 400 B．－39 400
C．78 800 D．－78 800
答案：B
解析：∵a1＝f(1)＝(1－3m)＋10＝2，∴m＝3，∴an＝f(n)＝－8n＋10，∴S100＝－8(1＋2＋…＋100)＋10×100＝－8×＋10×100＝－39 400，选B.
9．(2022·兰州、张掖联考)如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x＋(x>0)的图象上．若点Bn的坐标为(n,0)(n≥2，n∈N*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝(　　)

A．208 B．216
C．212 D．220
答案：B
解析：由Bn(n,0)得Cn，令x＋＝n＋，即x2－x＋1＝0，解得x＝n或x＝，所以Dn.所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2＋2＝4n，则a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋…＋10)＝216.
10．(2022·南昌一模)若数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝(－1)n＋2 013·a，bn＝2＋，且an<bn对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是(　　)
A．(－2,1) B．[－2,1)
C．(－2,1] D．[－2,1]
答案：B
解析：本题主要考查数列、不等式等基础学问，考查分类争辩思想及化归与转化思想，意在考查考生分析、解决问题的力量．
由an<bn得－(－1)n·a<2＋，
要使其对任意n∈N*恒成立，则当n＝2k－1(k∈N*)时，a<2－恒成立，又max＝1，所以a<2－1＝1；当n＝2k(k∈N*)时，－a<2＋恒成立，又∈，所以－a≤2，得a≥－2.综上所述，－2≤a<1.
11．(2022·山西山大附中高三月考)已知数列{an}满足an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的数k(k∈N*)叫做幸运数，则k∈[1,2 014]内全部的幸运数的和为(　　)
A．1 013 B．1 560
C．2 026 D．2 088
答案：C
解析：由题可得a1·a2·a3·…·ak
＝log23·log34·log45·…·logk＋1(k＋2)
＝···…·＝log2(k＋2)为整数，即log2(k＋2)＝m，m∈Z，即k＝2m－2，结合k∈[1,2 014]，则k∈{2,6,14,30,62,126,254,510,1 022}，所以2＋6＋14＋30＋62＋126＋254＋510＋1 022＝(22＋23＋…＋210)－18＝2 026，故选C.
二、填空题
12．(2022·河南六市联考)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f＝f(x)，f(－2)＝5，数列{an}满足a1＝－1，且＝2×＋1(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a6)＋f(a7)＝________.
答案：－5
解析：由题意得，Sn＝2an＋n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－(2an－1＋n－1)＝2an－2an－1＋1，∴an＝2an－1－1(n≥2)，∴an－1＝2(an－1－1)，又a1＝－1，∴数列{an－1}是公比为2，首项为－2的等比数列．∴an＝－2n＋1.∴a6＝－63，a7＝－127.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f＝f(x)，∴f(x)是周期为3的函数．∴f(a6)＋f(a7)＝f(－63)＋f(－127)＝f(0)＋f(－1)＝f(2)＝－5.
13．(2022·石家庄质检二)定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的．已知数列{an}满足a1＝a(a>0)，a2＝1，an＋2＝(n∈N*)，若a2 014＝2a，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 014的值为________．
答案：5 235
解析：本题以数列的递推公式为背景考查数列前n项和的计算，同时考查考生的归纳推理力量及分类争辩思想．
∵a1＝a>0，a2＝1，∴a3＝，a4＝a5＝a6＝a，∴a2 014＝a402×5＋4＝a4＝2a＝4，∴a＝2，∴S2 014＝(2＋1＋2＋4＋4)×402＋2＋1＋2＋4＝5 235.
14．(2022·吉林三模)各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7＝4，a6＝8，若函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的导数为f′(x)，则f′的值为________．
答案：
解析：本题考查导数的运算、等差数列前n项和、等比数列的通项、指数运算、函数求值，难度中等．
由题意得公比q>0，且an>0，则有解得∴an＝×2n－1＝2n－3，∴f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.∵nann－1＝n×2n－3×21－n＝，∴f′＝＋＋…＋＝×＝.
15．(2022·南京一模)已知等比数列{an}的首项为，公比为－，其前n项和为Sn，若A≤Sn－≤B对任意n∈N*恒成立，则B－A的最小值为________．
答案：
解析：依据题意得，Sn＝＝1－n＝，所以C＝Sn－＝－＝，令－2×(－3)n＋1＝t，则(－3)n＝，由于n∈N*，所以当n为奇数时(－3)n≤－3，t≥7，当n为偶数时(－3)n≥9，t≤－17.
则C＝＝，在t＝－17时取得最小值－，在t＝7时取得最大值，所以B－A的最小值为－＝.
三、解答题
16．(2022·郑州第一次质量猜测)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)，当x＝－时取得最小值－4.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝f(0)，a4＝f，求数列的前n项和Tn.
解：(1)由题意知x＝－时f(x)取得最小值－4，
∴A＝4,4sin＝－4，
∴sin＝－1，
又0<φ<π，∴φ＝，
∴f(x)＝4sin.
(2)∵a2＝f(0)，a4＝f，
∴a4＝4，a2＝2，
设等差数列{an}的公差为d，
则d＝1，a1＝1，
∴Sn＝，
Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝2
＝2＝.
17．(2022·合肥第一次质量检测)已知函数f(x)＝x＋(x>0)，以点(n，f(n))为切点作函数图象的切线ln(n∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)图象及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝|AnBn|.
(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项；
(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn<1.
解：(1)对f(x)＝x＋(x>0)求导，得f′(x)＝1－，则切线ln的方程为y－＝(x－n)，
即y＝x＋.
易知An，Bn，
由an＝|AnBn|知
an＝＝.
(2)∵nan＝＝－，
∴Sn＝a1＋2a2＋…＋nan＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.
18．(2022·吉林长春第三次调研)设数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，数列{bn}满足bn＝＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝4，由Sn＝2n＋1，得
Sn－1＝2n(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n(n≥2)，
∴an＝
(2)当n＝1时，b1＝＋1＝，
∴T1＝.
当n≥2时，bn＝＋n＝＋n＝
－＋n，
Tn＝＋
＋(2＋3＋4＋…＋n)
＝＋
＋(1＋2＋3＋4＋…＋n)
＝－＋.
上式对于n＝1也成立，所以Tn＝－＋.
19．(2022·四川成都七中3月模拟)设函数f(x)＝＋(x>0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N*，设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn≥恒成立，求实数t的取值范围．
解：(1)由an＝f可得，
an－an－1＝，n∈N*，n≥2.
所以{an}是等差数列．
又由于a1＝1，
所以an＝1＋(n－1)×＝，n∈N*.
(2)由于an＝，所以an＋1＝，
所以＝＝.
所以Sn＝＝，n∈N*.
Sn≥⇔≥⇔t≤(n∈N*)恒成立．
令g(n)＝(n∈N*)，
则g(n)＝＝＝2n＋3＋－6(n∈N*)．
令p＝2n＋3，则p≥5，p∈N*.
g(n)＝p＋－6(n∈N*)，易知p＝5时，
g(n)min＝.所以t≤，即t的取值范围是.