2021届高考文科数学二轮复习提能专训19-圆锥曲线中的综合问题.docx

提能专训(十九)　圆锥曲线中的综合问题　
一、选择题

1．(2022·吉林试验中学模拟)如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C1的离心率是(　　)
A.　　　B.　　　C.或　　　D.
答案：B
解析：由C1：x2－＝1，知c＝2，|F1F2|＝|F1A|＝4，∵又|F1A|－|F2A|＝2，∴|F2A|＝2.又由椭圆的定义知2a＝|F1A|＋|F2A|＝6，
∴a＝3，e＝＝.
2．(2022·北京朝阳期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且OD＝BE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是(　　)
A．y＝x(1－x)(0≤x≤1)
B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)
C．y＝x2(0≤x≤1)
D．y＝1－x2(0≤x≤1)
答案：A
解析：设D(0，λ)，E(1,1－λ)(0≤λ≤1)，所以线段AD方程为y＝－λx＋λ(0≤x≤1)，线段OE方程为y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，
联立方程组(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y＝x(1－x)(0≤x≤1)，故A正确．
3．(2022·河北石家庄质检二)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为(　　)
A．a，a B．a，
C.， D.，a
答案：A
解析：由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，由三角形内切圆的性质得|AF1|－|AF2|＝2a，又∵|AF1|＋|AF2|＝2c，∴|AF1|＝a＋c，∴|OA|＝a.延长F2B交PF1于点C，∵PQ为∠F1PF2的角平分线，∴|PF2|＝|PC|，再由双曲线定义得|CF1|＝2a，∴|OB|＝＝a，故选A.

4．(2022·青岛一模)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y2＝8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x－y－10＝0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：B
解析：由题意可知，p＝4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，－4)，QN：y＝－4，直线QN，MN关于l：x－y－10＝0对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于y轴．解得N(6，－4)，故x0等于6.
故选B.
5．(2022·河北石家庄质检二)已知两定点A(－2,0)和B(2,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意可知，c＝2，由e＝＝.可知e最大时需a最小，由椭圆的定义|PA|＋|PB|＝2a，即使得|PA|＋|PB|最小，设A(－2,0)关于直线y＝x＋3的对称点为D(x，y)，由可知D(－3,1)．
所以|PA|＋|PB|＝|PD|＋|PB|≥|DB|＝＝，即2a≥，
所以a≥，则e＝≤＝.故选B.
6．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，且PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案：D
解析：由于PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，所以|PF2|＝2ctan 30°＝c，|PF1|＝c.又|PF1|＋|PF2|＝2c＝2a，所以＝＝，即椭圆的离心率为，选D.
7．(2022·甘肃模拟)抛物线x2＝－y上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案：A
解析：设抛物线上的点的坐标为(m，－m2)，则其到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，故当m＝时，d有最小值为.
8．(2022·武汉调研)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：椭圆的左顶点为A1(－2,0)，右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则＋＝1，得＝－.而kPA2＝，kPA1＝，所以kPA2·kPA1＝＝－.
又kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈.
9．(2022·杭州二检)设F1，F2为椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|＝2.若椭圆C1的离心率e∈，则双曲线C2的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,4] D.
答案：D
解析：设双曲线C2的方程为－＝1(a2>0，b2>0)，由已知|MF1|＝2，|F1F2|＝|MF2|＝2c，又依据椭圆与双曲线的定义，得
即解得a1－a2＝2c，其中2a1,2a2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长，∵椭圆的离心率e∈，
∴≤≤，∴c≤a1≤c，而a2＝a1－2c，
∴c≤a2≤c，∴≤≤4，故选D.
10．(2022·湖南六校联考)已知双曲线T：－＝1(a，b>0)的右焦点为F(2,0)，且经过点R，△ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，ki≠0，i＝1,2,3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为－1，则＋＋的值为(　　)
A．－1 B．－ C．1 D.
答案：B
解析：由已知可得c＝2，a＝，b＝，双曲线为－＝1，令A(x1，y1)，}，C(x3，y3)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，P(xP，yP)，由点差法得k1＝＝·＝2·，同理可得k2＝2·，k3＝2·，又kOM＋kON＋kOP＝－1＝2·，所以＋＋＝－.
11．(2022·辽宁五校联考)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5 C. D．2
答案：A
解析：取焦点(c,0)到双曲线的渐近线bx＋ay＝0的距离为＝＝b，则b＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝＝＝.故选A.
12．(2022·贵阳高三模拟)中心为(0,0)，一个焦点为F(0，5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦的中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：C
解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由F(0,5)，得a2－b2＝50.把直线方程y＝3x－2代入椭圆方程整理得(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0.设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，又AB的中点的横坐标为，所以＝＝，∴a2＝3b2，与方程a2－b2＝50联立，可解得a2＝75，b2＝25.故椭圆的方程为＋＝1，故选C.
二、填空题
13．(2022·河北唐山一模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝________.
答案：
解析：∵y2＝4x，
∴抛物线的准线为x＝－1，F(1,0)．
又A到抛物线准线的距离为4，
∴xA＋1＝4，∴xA＝3.
∵xAxB＝＝1，∴xB＝.
∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋＋2＝.
14．(2022·绵阳诊断)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则此椭圆的离心率为________．
答案：
解析：依题意，＝＝，＝，e＝＝.
由已知得0<α<α＋β≤π，cos α>cos(α＋β)，
即cos(α＋β)<，又cos2(α＋β)＋sin2(α＋β)＝1，因此cos(α＋β)＝－，sin α＝＝，
sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×＋×＝，sin α＋sin β＝，e＝＝，即该椭圆的离心率是.
15．(2022·四川成都第三次诊断)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，圆C是以坐标原点O为圆心，实轴为直径的圆．过双曲线右支上的任一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，其切点分别为A，B.若直线AB与x轴、y轴分别相交于M，N两点，则－的值为________．
答案：
解析：由题知P，A，O，B四点共圆，其方程为2＋2＝(x＋y)，又圆C的方程为x2＋y2＝a2，两式作差，得公共弦AB的方程为：x0x＋y0y＝a2，分别令x＝0，y＝0，得|ON|＝，|OM|＝.又点P(x0，y0)在双曲线上，故－＝1，即b2x－a2y＝a2b2.又e2＝＝＝2，所以＝.故－＝－＝＝＝.
16．(2022·杭州二检)设抛物线C：y2＝2px(p>0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线C于P，Q两点．若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝________.
答案：0
解析：设OA所在的直线的斜率为k，则由得到A，易知B，P，Q的坐标由方程组得到，消去x得到－y－＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y2＝－p2，依据弦长公式，|FP|·|FQ|＝·|y1|··|y2|＝|y1y2|＝p2，而|OA||OB|＝·＝p2，
∴|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝0.
三、解答题

17．(2022·贵阳适应性考试)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，以PQ为直径的圆是否恒过y轴上某定点M，若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意得|OB|＝8，依据对称性知
∠BOy＝30°.
设点B(x，y)，则x＝8×sin 30°＝4，
y＝8×cos 30°＝12，
所以B(4，12)在抛物线上，
所以(4)2＝2p×12，解得p＝2，
抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)设点P(x0，y0)(x0≠0)，由于y＝x2，y′＝x，
直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即y＝x0x－x.
由得
所以Q.
设满足条件的定点M存在，坐标为M(0，y1)，
所以＝(x0，y0－y1)，＝，又·＝0，
所以－y0－y0y1＋y1＋y＝0，
又y0＝x(x0≠0)，联立解得y1＝1，
故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1)．
18.(2022·新疆二次检测)在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点(1,0)的距离与到定直线x＝2的距离之比为，设动点P的轨迹为C.
(1)求出轨迹C的方程；
(2)设动直线l：y＝kx－与曲线C交于A，B两点，问在y轴上是否存在定点G，使∠AGB为直角？若存在，求出G的坐标，并求△AGB面积的最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设P(x，y)，则依题意，有
＝，
化简得＋y2＝1.
(2)由
得(2k2＋1)x2－kx－＝0.
依题意作图，如图，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(0，m)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
·＝x1x2＋(y1－m)(y2－m)
＝(k2＋1)x1x2－k(x1＋x2)＋m2＋m＋
＝，
若对任意k∈R，·＝0恒成立，
则需解得m＝1.
因此，存在点G(0,1)，使得∠AGB为直角．
又点G到AB的距离d＝，
所以S△AGB＝|AB|d＝＝，
设t＝2k2＋1，则t∈[1，＋∞)，
则S△AGB＝，
当t＝1时，
△AGB面积最大，此时S△AGB＝.
19．(2022·云南统检)已知F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F1P为直径的圆经过F2，·＝a2.直线l经过F1，与椭圆E交于A，B两点，F2与A，B两点构成△ABF2.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设△F1PF2的周长为2＋，求△ABF2的面积S的最大值．
解：(1)∵F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P是椭圆E上的点，以F1P为直径的圆经过F2，∴PF2⊥x轴．
∴|PF2|＝.
又∵·＝a2，
∴|PF2|2＝a2，即＝a.
∴a2＝4b2，即a2＝4(a2－c2)，化简得3a2＝4c2，
所以＝.
∴椭圆E的离心率等于.
(2)∵△F1PF2的周长为2＋，
∴2a＋2c＝2＋.
解方程组
得
∴b2＝.
∴椭圆E的方程为x2＋4y2＝1.
当直线l不存在斜率时，△ABF2的面积为
S＝××2c＝.
当直线l存在斜率时，设为k，由F2与A，B两点构成△ABF2，得k≠0.
由已知得直线l的方程为y＝k，
即2kx－2y＋k＝0.
∴F2到直线l的距离d＝.
由得
(1＋4k2)x2＋4k2x＋3k2－1＝0.
∴
∴|AB|＝·
＝.
∴S＝|AB|d＝
＝×
≤＝.
∴△ABF2的面积S的最大值为.
又∵>，
∴△ABF2的面积S的最大值为.
20．(2022·南昌一模)已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W＝，试推断W是否为定值．若W为定值，恳求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．
解：(1)椭圆C的右焦点坐标为(1,0)，∴c＝1，椭圆C的左焦点坐标为(－1,0)，可得
2a＝＋
＝＋＝4，
解得a＝2，
∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)①当直线斜率不存在时，|AB|2＝(2b)2＝4b2，|MN|＝，
∴W＝＝＝2a＝4.
②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
|MN|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
设直线AB的方程为y＝kx(k≠0)，
由消去y并整理，得
x2＝，
设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则
|AB|＝|x3－x4|＝4，
∴W＝＝＝4.
综上所述，W为定值4.