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第4课时 (小专题)带电粒子在复合场中的运动
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
(2)组合场：电场与磁场各位于肯定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替消灭。
2．三种场的比较
名称
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功转变物体的重力势能
静电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同；负电荷受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关
W＝qU
电场力做功转变电势能
磁场
洛伦兹力F＝qvB
方向可用左手定则推断
洛伦兹力不做功，不转变带电粒子的动能
3．带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。
(3)一般的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。
(4)分阶段运动：带电粒子可能依次通过几个状况不同的复合场区域，其运动状况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
突破一 带电粒子在组合场中的运动
“磁偏转”和“电偏转”的差别
电偏转
磁偏转
偏转条件
带电粒子以v⊥E进入匀强电场
带电粒子以v⊥B进入匀强磁场
受力状况
只受恒定的电场力
只受大小恒定的洛伦兹力
运动状况
类平抛运动
匀速圆周运动
运动轨迹
抛物线
圆弧
物理规律
类平抛学问、牛顿其次定律
牛顿其次定律、向心力公式
基本公式
L＝vt，y＝at2，a＝，tan θ＝
r＝，T＝，t＝
【典例1】 (2022·海南卷，14)如图1所示，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面对外；在x轴下方存在匀强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角。一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子以速度v0从y轴上P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T0，磁场方向变为垂直纸面对里，大小不变，不计重力。
图1
(1)求粒子从P点动身至第一次到达x轴时所需的时间；
(2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值。
解析 (1)带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为R，运动周期为T，依据洛伦兹力公式及圆周运动规律，有
qv0B＝m，T＝
依题意，粒子第一次到达x轴时，运动转过的角度为π，所需时间为t1＝T，求得t1＝
(2)粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为0，然后沿原路返回做匀加速运动，到达x轴时速度大小仍为v0，设粒子在电场中运动的总时间为t2，加速度大小为a，电场强度大小为E，有qE＝ma，v0＝at2，得t2＝
依据题意，要使粒子能够回到P点，必需满足t2≥T0
得电场强度最大值E＝
答案 (1) (2)
1.求解策略：“各个击破”
2．抓住联系两个场的纽带——速度。
【变式训练】
1．如图2所示，在坐标系xOy的第一象限内斜线OC的上方存在垂直纸面对里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限内存在磁感应强度大小未知、方向垂直纸面对里的匀强磁场，第三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，在x轴负半轴上有一接收屏GD，GD＝2OD＝d，现有一带电粒子(不计重力)从y轴上的A点，以初速度v0水平向右垂直射入匀强磁场，恰好垂直OC射出，并从x轴上的P点(未画出)进入第四象限内的匀强磁场，粒子经磁场偏转后又垂直y轴进入匀强电场并被接收屏接收，已知OC与x轴的夹角为37°，OA＝d，求：
图2
(1)粒子的电性及比荷；
(2)第四象限内匀强磁场的磁感应强度B′的大小；
(3)第三象限内匀强电场的电场强度E的大小范围。
解析 (1)粒子运动轨迹如图所示，由左手定则可知粒子带负电
由图知粒子在第一象限内运动的轨道半径R＝d
由洛伦兹力供应向心力得Bqv0＝m
联立得＝
(2)由图知OP＝d，所以粒子在第四象限内做圆周运动的半径为r＝＝
同理B′qv0＝，联立得B′＝
(3)粒子在匀强电场中做类平抛运动，由图知
OQ＝r＋rsin 37°＝2d
当电场强度E较大时，粒子击中D点，由类平抛运动规律知＝v0t
2d＝·t2
联立得Emax＝
当电场强度E较小时，粒子击中G点，由类平抛运动规律知＝v0t
2d＝·t2
联立得Emin＝
所以≤E≤
答案 (1)负 (2) (3)≤E≤
突破二 带电粒子在叠加复合场中的运动
处理带电粒子在复合场中的运动时，要做到“三个分析”：
(1)正确分析受力状况，重点明确重力是否不计和洛伦兹力的方向。
(2)正确分析运动状况，常见的运动形式有：匀速直线运动、匀速圆周运动和一般变速曲线运动。
(3)正确分析各力的做功状况，主要分析电场力和重力的功，洛伦兹力肯定不做功。
【典例2】 (2022·四川卷，10)在如图3所示的竖直平面内，水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r＝ m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点，GH与水平面的夹角θ＝37°。过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面对里，磁感应强度B＝1.25 T；过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E＝1×104 N/C。小物体P1质量m＝2×10－3 kg、电荷量q＝＋8×10－6 C，受到水平向右的推力F＝9.98×10－3 N的作用，沿CD向右做匀速直线运动，到达D点后撤去推力。当P1到达倾斜轨道底端G点时，不带电的小物体P2在GH顶端静止释放，经过时间t＝0.1 s与P1相遇。P1和P2与轨道CD、GH间的动摩擦因数均为μ＝0.5，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力。求：
图3
(1)小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小；
(2)倾斜轨道GH的长度s。
第一步：认真读题抓好“三个分析”
其次步：抓住关键点挖掘隐含信息
规范解答 (1)设小物体P1在匀强磁场中运动的速度为v，受到向上的洛伦兹力为F1，受到的摩擦力为f，则
F1＝qvB①
f＝μ(mg－F1)②
由题意，水平方向合力为零
F－f＝0③
联立①②③式，代入数据解得
v＝4 m/s④
(2)设P1在G点的速度大小为vG，由于洛伦兹力不做功，依据动能定理
qErsin θ－mgr(1－cos θ)＝mv－mv2⑤
P1在GH上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a1，依据牛顿其次定律
qEcos θ－mgsin θ－μ(mgcos θ＋qEsin θ)＝ma1⑥
P1与P2在GH上相遇时，设P1在GH上运动的距离为s1，则s1＝vGt＋a1t2⑦
设P2质量为m2，在GH上运动的加速度为a2，则
m2gsin θ－μm2gcos θ＝m2a2⑧
P1与P2在GH上相遇时，设P2在GH上运动的距离为s2，则s2＝a2t2⑨
联立⑤～⑨式，代入数据得
s＝s1＋s2
s＝0.56 m
答案 (1)4 m/s (2)0.56 m
【变式训练】
2．一束硼离子以不同的初速度，沿水平方向经过速度选择器，从O点进入方向垂直纸面对外的匀强偏转磁场区域，分两束垂直打在O点正下方的硼离子探测板上P1和P2点，测得OP1∶OP2＝2∶3，如图4甲所示。速度选择器中匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B1，偏转磁场的磁感应强度为B2，若撤去探测板，在O点右侧的磁场区域中放置云雾室，硼离子运动轨迹如图乙所示。设硼离子在云雾室中运动时受到的阻力f＝kq，式中k为常数，q为硼离子的电荷量。不计硼离子重力。求：
图4
(1)硼离子从O点射出时的速度大小；
(2)两束硼离子的电荷量之比；
(3)两种硼离子在云雾室里运动的路程之比。
解析 (1)只有竖直方向受力平衡的离子，才能沿水平方向运动离开速度选择器，故有qE＝qvB1
解得v＝。
(2)设到达P1点的硼离子的电荷量为q1，到达P2点的硼离子的电荷量为q2
进入磁场后有qvB2＝m
解得r＝
依据题意有＝
进入偏转磁场的硼离子的质量相同、速度相同，
可得＝＝。
(3)设电荷量为q1的硼离子运动路程为s1，电荷量为q2的硼离子运动路程为s2，在云雾室内硼离子受到的阻力始终与速度方向相反，阻力始终做负功，洛伦兹力不做功，则有W＝－fs＝ΔEk
f＝kq
可得：＝＝。
答案 (1) (2)3∶2 (3)2∶3
突破三 带电粒子在交变电磁场中的运动
带电粒子在交变电磁场中运动的处理方法：
(1)弄清复合场的组成特点及场的变化状况。
(2)正确分析带电粒子的受力及运动特点。
(3)画出粒子的运动轨迹，机敏选择不同的运动规律。
【典例3】 如图5甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面对里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E＞0表示电场方向竖直向上。t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点。Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g。上述d、E0、m、v、g为已知量。
图5
(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；
(2)求电场变化的周期T；
(3)转变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值。
第一步：抓住关键点猎取信息
其次步：抓好过程分析构建运动模型理清思路
第一个过程：微粒做匀速直线运动
E0q＋mg＝qvB
＝vt1
其次个过程：微粒做匀速圆周运动E0q＝mg
qvB＝
2πR＝vt2
规范解答 (1)微粒做直线运动，则
mg＋qE0＝qvB①
微粒做圆周运动，则mg＝qE0②
联立①②得q＝③
B＝④
(2)设微粒从N1运动到Q的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则＝vt1⑤
qvB＝m⑥
2πR＝vt2⑦
联立③④⑤⑥⑦得t1＝，t2＝⑧
电场变化的周期T＝t1＋t2＝＋⑨
(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑩
联立③④⑥得R＝⑪
设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min，
由⑤⑩⑪得t1min＝
因t2不变，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝。
答案 (1) (2)＋ (3)
带电粒子在复合场中运动的解题模板
【变式训练】
3．如图6甲所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，其变化规律如图乙所示，电场强度E0＝ V/m，现将一重力不计、比荷＝106 C/kg的带电粒子从电场中的C点由静止释放，经t1＝×10－5 s的时间粒子通过MN上的D点进入匀强磁场，磁场方向垂直纸面对里，磁感应强度B按图丙所示规律变化。(计算结果均可保留π)
图6
(1)求粒子到达D点时的速率；
(2)求磁感应强度B1＝0.3 T时粒子做圆周运动的周期和半径；
(3)若在距D点左侧d＝21 cm处有一垂直于MN的足够大的挡板ab，求粒子从C点运动到挡板所用的时间。
解析 (1)粒子在电场中做匀加速直线运动，
则qE＝ma，v0＝at1
解得v0＝1.5×104 m/s
(2)设磁感应强度B1＝0.3 T时，粒子运动的半径为r1，运动周期为T1，则B1qv0＝m，T1＝
解得r1＝5 cm，T1＝×10－5 s
(3)设磁感应强度B2＝0.5 T时，粒子运动半径为r2，运动周期为T2，则B2qv0＝m，T2＝
解得r2＝3 cm，T2＝×10－5 s
由以上计算可知，粒子的运动轨迹为如图所示的周期运动，每一个周期运动的水平距离为
s＝2(r1＋r2)＝16 cm
所以，粒子运动1个整数周期后余下的距离为
Δd＝d－s＝5 cm＝r1
粒子从C点动身运动到挡板的时间为
t＝5t1＋＋＋
解得t＝×10－5 s
答案 (1)1.5×104 m/s (2)×10－5 s 5 cm
(3)×10－5 s
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