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数列
1.了解数列的概念和几种简洁的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数．
等差数列
1.理解等差数列的概念．
2．把握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关学问解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数的关系．
等比数列
1.理解等比数列的概念．
2．把握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关学问解决相应的问题．
4．了解等比数列与指数函数的关系．
数列求和
把握等差、等比数列的前n项和公式.
第1讲 数列的概念与简洁表示法
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义：
①数列：依据确定挨次排列的一列数．
②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类：
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1<an
常数列
an＋1＝an
(3)数列的通项公式：
假如数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
假如已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
[做一做]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
解析：选D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝________．
答案：
1．辨明两个易误点
(1)数列是按确定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列挨次有关．
(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
2．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
3．an与Sn的关系
an＝.
[做一做]
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．
解析：当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1，a1不适合此等式．
∴an＝.
答案：an＝
4．若数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列是__________数列．(填“递增”或“递减”或“摇摆”)
解析：法一：令f(x)＝，则f(x)＝1－在(0，＋∞)上是增函数，则数列{an}是递增数列．
法二：∵an＋1－an＝－＝＞0，
∴an＋1＞an，∴数列{an}是递增数列．
答案：递增
,[同学用书P88～P89])
__由数列的前几项求数列的通项________
写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3，5，7，9，…；
(2)，，，，，…；
(3)－1，，－，，－，，….
[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an＝.
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项确定值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项确定值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，
所以an＝(－1)n·.
也可写为an＝
[规律方法] 用观看法求数列的通项公式的技巧
(1)依据数列的前几项求它的一个通项公式，要留意观看每一项的特点，观看出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
(2)依据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
1.依据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：
(1)4，6，8，10，…；
(2)－，，－，，…；
(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；
(4)9，99，999，9 999，….
解：(1)各数都是偶数，且最小数为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N*)．
(2)这个数列的前4项的确定值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×.
(3)这是一个摇摆数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝
(4)这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.
__由an与Sn的关系求通项an(高频考点)__
an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多毁灭在选择题或填空题中，有时也毁灭在解答题的已知条件中，难度较小，属简洁题．
高考对an与Sn关系的考查常有以下两个命题角度：
(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；
(2)利用an与Sn的关系求Sn.
(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )
A．2n－1 B.
C. D.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn.
①若Sn＝2n2－3n，求an；
②若Sn＝3n＋b，求an.
[解析] (1)由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以Sn＝.
[答案] B
(2)解：①a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
②a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式．
当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
若本例(1)中，结论改为求an，如何求解？
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，
∴＝，又由S1＝2a2，得a2＝，
∴{an}是从第2项开头的等比数列，
∴an＝
[规律方法] 已知Sn求an的三个步骤：
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，假如符合，则可以把数列的通项公式合写；假如不符合，则应当分n＝1与n≥2两段来写．
2.(1)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．45 D．45＋1
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n＋1，则它的通项公式an＝________．
(3)(2021·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
解析：(1) 法一：a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.
法二：当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第2项开头是以4为公比的等比数列，
又a2＝3S1＝3a1＝3，
∴an＝
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
(2)∵a1＝S1＝12－1＋1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]＝2n－2，∴an＝.
(3)当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－(an－1＋)
＝(an－an－1)，
∴an＝－2an－1，即＝－2，
∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，
∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.
答案：(1)A (2) (3)(－2)n－1
__由递推公式求数列的通项公式__________
分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)．
[解] (1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，
所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.
(2)当n≥2，n∈N*时，
an＝a1×××…×
＝1×××…×××＝n，
当n＝1时，也符合上式，
所以该数列的通项公式为an＝n.
[规律方法] 由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法．形如an＝pan－1＋m(p、m为常数，p≠1，m≠0)时，构造等比数列；形如an＝an－1＋f(n)({f(n)}可求和)时，用累加法求解；形如＝f(n)({f(n)}可求积)时，用累积法求解．
3.(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋
，求an；
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an.
解：(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.
(2)由于＝2n，
故＝21，＝22，…，＝2n－1，
将这n－1个等式叠乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，
故an＝2.
交汇创新——数列与周期函数的交汇
(2022·高考课标全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．
[解析] ∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝＝
＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.
[答案]
[名师点评] (1)本题是数列与周期函数的交汇，解答此类问题的思路是由递推关系推出数列的周期性，在本题中由an＋1＝推出周期为3，由a8＝a2＝2，即可求出a1.
(2)数列是一个特殊的函数，具有函数的一般性质，如单调性、周期性、最值等．
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
解析：选C.依据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.
2．(2021·海南三亚模拟)在数列1，2，，，，…中，2是这个数列的第( )
A．16项 B．24项
C．26项 D．28项
解析：选C.由于a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，得n＝26.故选C.
3．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝( )
A．5 B.
C. D.
解析：选B.∵an＋an＋1＝，a2＝2，
∴an＝
∴S21＝11×＋10×2＝.故选B.
4．(2021·吉林一般中学摸底)已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，6) B．(－∞，4]
C．(－∞，5) D．(－∞，3]
解析：选B.数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则－≤1，即λ≤4.
5．(2021·云南昆明一中开学考试)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是( )
A．a100＝－1，S100＝5 B．a100＝－3，S100＝5
C．a100＝－3，S100＝2 D．a100＝－1，S100＝2
解析：选A.由于数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，所以a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，a7＝1，a8＝3，…，
由此可知数列中各项满足an＋6＝an，且an＋an＋1＋…＋an＋6＝0.故a100＝a4＝－1，S100＝a1＋a2＋a3＋a4＝5.
6．在数列－1，0，，，…，，…中，0.08是它的第________项．
解析：令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，
即(2n－5)(n－10)＝0.
解得n＝10或n＝(舍去)．
∴a10＝0.08.
答案：10
7．已知数列{an}满足as·t＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________．
解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.
答案：8
8．在一个数列中，假如∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积，已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．
解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
答案：28
9．已知an＝an－1＋(n≥2)，a1＝1.
(1)写出这个数列的前5项；
(2)由(1)中前5项推想数列的通项公式并证明．
解：(1)a1＝1，a2＝a1＋＝，
a3＝a2＋＝，a4＝a3＋＝，a5＝a4＋＝.
(2)猜想an＝.证明如下：
由已知得a2－a1＝，
a3－a2＝，
…
an－an－1＝，
所以an－a1＝＋＋…＋.
从而an＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)
＝2n＋1－2n＝2n.
由于a1也适合此等式，所以an＝2n(n∈N*)．
(2)由于bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
1．跳格玩耍：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为( )
A．8 B．13
C．21 D．34
解析：选C.设跳到第n个格子的方法种数为an，则到达第n个格子的方法有两类：①向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an－1；
②向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an－2，则an＝an－1＋an－2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21.
∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.
2．(2021·浙江金丽衢十二校联考)已知函数y＝f(x)，数列{an}的通项公式是an＝f(n)(n∈N*)，那么“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增，则数列{an}是递增数列确定成立；反之不成立，现举反例说明：若数列{an}是递增数列，则函数在[1，2]上可以先减后增，只要在x＝1处的函数值比在x＝2处的函数值小即可．故“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件．
3．(2021·大连双基测试)数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．
解析：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n换成n－1，得a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得an＝3n.
答案：3n
4．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．
解析：从题图中可观看星星的构成规律，n＝1时，有1个，n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
答案：an＝
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn，k∈N*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an}的通项公式．
解：由于Sn＝－n2＋kn＝－(n－k)2＋k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值k2，故k2＝8，k2＝16，因此k＝4，从而Sn＝－n2＋4n.
当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－n.
当n＝1时，－1＝＝a1，
所以an＝－n.
6．(选做题)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)推断数列{cn}的增减性．
解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝.
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－
＝－＝<0，
∴{cn}是递减数列．
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