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莆田二十四中高三理科数学其次次月考试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
2. 若,则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3. 在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）
A.58 B.88 C.143 D.176
4. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为等比数列，，，则（ ）
A.7 B.5 C.-5 D.-7
6. 函数的最大值与最小值之和为（ ）
A. B.0 C.－1 D.
7. 下列推断错误的是（ ）
A. “”是””的充分不必要条件
B.命题“”的否定是“ ”
C.若均为假命题，则为假命题
D.若，则
8. 函数的零点个数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
9. 函数（其中）的图象如图1所示，为了得到的图象，则只需将的图象( )
A.向右平移个长度单位
B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位
D.向左平移个长度单位
10. 在△中，若，则△是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
11. 已知函数则满足不等式的的取值范围为( )
A. B. (-3,1) C. [-3,0) D. (-3,0)
12. 设不等式组表示的平面区域为表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=( )
A. 1012 B. 2022 C. 3021 D. 4001
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）
13. 已知向量a,b夹角为 ，且|a|=1，|2a－b|=，则|b|=________.
14. 在△中，,
,则的长度为________.
15. 设满足约束条件：则的取值范围为 .
16. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数。
（1）求的定义域及最小正周期；
（2）求的单调递减区间.
18.（本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前n项和，求数列的前n项和
19.（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinC－ccosA.
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC.的面积为，求b,c.
20.（本小题满分12分）
已知等差数列满足：.
（1）求的通项公式；
（2）若()，求数列的前n项和.
21. 如图2，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹放射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与放射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽视其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由.
图2
22. 设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线与直线在(0，0)点相切。
（1）求的值;
（2）证明：当时，.
莆田二十四中高三理科数学其次次月考试卷答案
1. A【解析】集合M={y|y>1}，集合N=，所以.
2. D 【解析】由于指数函数在定义域内单调递减，又，所以.故D
3.（理）B【解析】由等差数列性质可知，a4＋a8＝a1＋a11＝16，S11＝＝88.
4. D【解析】由于，所以，所以，所以.又，所以.又由，得，所以.选D.
5. D【解析】由于为等比数列，所以.又，所以或.若，解得，此时；若，解得，仍有.综上, .选D.
6. A 【解析】由于，所以，则，所以当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为，所以最大值与最小值之和为.选A.
7.（理）D 【解析】A项中，；但不能推出,例如：当时，，故A正确；B项明显正确；C项中,均为假可以推出为假，正确；D项中，，故错误.
8. B。在同一坐标系内画出函数和的图象可得交点个数为3. 故选B.
9. A 【解析】由图象易得,且函数的最小正周期为,所以.又由图象过点，得，则,得，又，所以.所以.将其向右平移个长度单位，即可得到函数的图象.
10.D【解析】由，得，得
，得，得,故.故△是直角三角形.
11. D【解析】当时，满足,无解；当时，满足，解得；当时，满足，解得.综上可知，的范围为.
12. C【解析】由于，所以令,又为整数，所以.当x=1时，，有3n个整数点；当x=2时，，有2n个整数点；当x=3时，，有n个整数点.综上，共有6n个整数点，所以.则数列是以为首项，公差为12的等差数列.故.
13. 【解析】由于|2a－b|=，所以（2a－b）2=10，即4|a|2－4|a||b|＋4|b|2=10，所以4＋|b|2－4|b|cos45°=10，整理得|b|2－|b|－6=0，解得|b|=或|b|=（舍去）.
14. 1或2【解析】由余弦定理得,即
,解得BC=1或BC=2.
15. 【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图，由，得.平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时取得最大值3；当直线经过点时，直线的截距最大，取得最小值-3；所以，即的取值范围是.
16.【解析】由于，所以.若恒成立，则,解得.
17.解：（1）由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． …………………2分
由于f(x)＝
＝2cosx(sinx－cosx)
＝sin2x－cos2x－1
＝sin－1， …………………………4分
所以f(x)的最小正周期T＝＝π. …………………………5分
（2）函数y＝sinx的单调递减区间为(k∈Z)． …………………………6分
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． …………………………10分
18. 解：（1）依题意得
由于，解得 …………………………4分
所以. …………………………6分
（2）由（1）得，
所以. …………………………10分
所以. …………………
19.解：（1）由c＝asinC－ccosA及正弦定理得
sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0. …………………………3分
由于sinC≠0，所以sin＝.
又0<A<π，故A＝. …………………………6分
(2)△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8. …………………………10分
解得b＝c＝2. …………………………12分
20. （理）解：（1）设的首项为，公差为，则
由得 …………2分
解得
所以的通项公式 …………5分
（2）由得. …………7分
①当时，
；…………10分
② 当时，，得；
所以数列的前n项和…………12分
21.解：（1）令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，…………………………2分
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号. …………………………4分
所以炮的最大射程为10 km. …………………………5分
（2）由于a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立
⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 …………………………7分
⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0
⇔a≤6. …………………………11分
所以当a不超过6 km时，可击中目标. …………………………12分
22. （理）解：（1）由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1. …………………………2分
由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，
又，得a＝0. …………………………5分
（2）(证法一)由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.……7分
记h(x)＝f(x)－，则h′(x)＝＋－＝－
＜－＝. …………………………9分
令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.
因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.
因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.
于是当0＜x＜2时，f(x)<. …………………………12分
(证法二)
由（1）知f(x)＝ln(x＋1)＋－1.
由均值不等式，当x＞0时，2＜x＋1＋1＝x＋2，故＜＋1.①
令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝－1＝＜0，
故k(x)＜0，即ln(x＋1)＜x.②
由①②得，当x＞0时，f(x)＜x.
记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0＜x＜2时，h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9
＜x＋(x＋6)－9
＝[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋)－18(x＋1)]
<[3x(x＋1)＋(x＋6)－18(x＋1)]
＝(7x－18)＜0.
因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，
所以h(x)＜0，即f(x)＜.
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