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提能专训(十九) 圆锥曲线的方程与性质
一、选择题
1．已知点P在抛物线x2＝4y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1∶3，则点P到x轴的距离是( )
A. B.
C．1 D．2
[答案] B
[解析] 抛物线的准线为y＝－1，设点P到x的距离为d，则d＋1＝3d，d＝.故选B.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由条件令|MF2|＝m，|MF1|＝2m，则|F1F2|＝m，即2c＝m,2a＝|MF1|－|MF2|＝2m－m＝m，
∴e＝＝＝.
3．(2022·湖南十三校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )
A．1 B.
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由e＝＝2，得＝4，∴＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，当x＝－时，y＝±p.∴S△AOB＝×p·＝.∴p＝2.
4．(2022·临沂三月质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的交点为A，B，A，B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为( )
A. B．2 C．3 D.＋1
[答案] C
[解析] 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，由双曲线与抛物线的对称性知，AB⊥x轴，于是得A，B.由|AB|＝2b知，p＝b.
∴A.
∵点A在双曲线上，∴－＝1，
∴8a2＝b2.又∵b2＝c2－a2，∴9a2＝c2，∴e2＝＝9，∴e＝3.
5．(2022·广西四市二次联考)已知O为坐标原点，P1，P2是双曲线－＝1上的点．P是线段P1P2的中点，直线OP，P1P2的斜率分别为k1，k2，若2≤k1≤4，则k2的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则P.
∵点P1，P2在双曲线－＝1上，
∴－＝1，－＝1.二式相减并整理，得＝×.
∵k1＝，且2≤k1≤4，
∴k2＝＝×∈.
6．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足＋＝0(O为坐标原点)，·＝0，若椭圆的离心率等于，则直线AB的方程是( )
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝－x D．y＝x
[答案] A
[解析] ∵·＝0，∴AF2⊥F1F2.
设A(c，y)，则＋＝1，
∴y＝.
∵椭圆的离心率e＝＝，
∴a＝c，b2＝a2－c2＝c2，A.
又＋＝0，
∴A，B关于原点对称，则直线AB的方程是y＝x.故选A.
7．(2022·大连双基测试)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，则|BC|＝( )
A. B．6
C. D．8
[答案] A
[解析] 不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0<θ<，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，则点B在x轴的上方．过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，由此得p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，cos θ＝＝＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝＝2，直线l：y＝2(x－1)．由得8(x－1)2＝4x，即2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故选A.
8．(2022·唐山二模)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线相互垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 由椭圆上长轴端点向圆作两条切线PA，PB，则两切线形成的角∠APB最小，若椭圆C1上存在点P令切线相互垂直，则只需∠APB≤90°，即α＝∠APO≤45°，∴sin α＝≤sin 45°＝，解得a2≤2c2，∴e2≥，即e≥，而0<e<1，∴≤e<1，即e∈.
9．(2022·杭州二检)在等腰梯形ABCD中，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形AEFD沿直线EF折起后所在的平面记为α，P∈α，设PB，PC与α所成的角分别为θ1，θ2(θ1，θ2均不为零)．若θ1＝θ2，则点P的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
[答案] B
[解析] 如图，设B，C在平面α内的投影分别为M，N，连接PM，BM，CN，PN，MN，依据直线与平面所成角的意义，∠BPM＝θ1，∠CPN＝θ2，∵θ1＝θ2，
∴＝＝，
又∵BE∥CF，∴＝＝＝k≠1，
∴＝k，由于在平面内到两定点的距离之比等于不为1的常数的点的轨迹是圆，故选B.
10．(2022·江西重点中学盟校二次联考)已知点F(－c,0)(c>0)是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2＋y2＝c2交于点P，且点P在抛物线y2＝4cx上，则e2等于( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 设点P的坐标为(xp，yp)，双曲线的右焦点为F2(c,0)，由于FF2是圆x2＋y2＝c2的直径，且点P在圆上，所以PF⊥PF2，所以kPF·kPF2＝－1，所以·＝－1①，由于点P在抛物线上，所以y＝4cxP②，联立①②，得xP＝(－2)c.又PF与双曲线的一条渐近线平行，所以tan∠PFF2＝，所以＝，所以|PF|＝|PF2|，依据抛物线定义，|PF2|＝xP－(－c)＝xP＋c＝(－1)c，又|PF|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以[(－1)c]2＝(2c)2，(6－2)＝4，所以(6－2)＝4，解得＝，所以e2＝，故选D.
二、填空题
11．(2022·云南统一检测)已知圆M经过双曲线S：－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，则圆心M到双曲线S的中心的距离为________．
[答案]
[解析] 依题意可设圆心M的坐标为(x0，y0)．若圆M经过双曲线同一侧的焦点与顶点，以右焦点F与右顶点A为例，由|MA|＝|MF|知，x0＝＝4，代入双曲线方程可得y0＝，故M到双曲线S的中心的距离|MO|＝＝.若圆M经过双曲线的不同侧的焦点与顶点时，结合图形知不符合．
12．(2022·兰州、张掖联考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．
[答案] y2＝3x
[解析] 如图，分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又|AE|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，依据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.
13．(2022·上海六校二联考)已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
[答案] (0，－1)
[解析] 椭圆的左焦点为F(－1,0)，右焦点为E(1,0)，依据椭圆的定义，|PF|＝2a－|PE|，
∴|PF|＋|PQ|＝|PQ|＋2a－|PE|＝2a＋(|PQ|－|PE|)，
由三角形的性质知，|PQ|－|PE|≤|QE|，当P是QE延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a＋|QE|＝2＋3＝5.
14．(2022·石家庄调研)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且||＝||，则该双曲线的离心率为________．
[答案] ＋1
[解析] ∵(＋)·＝0，
∴OB⊥PF2，且B为PF2的中点．
又O是F1F2的中点，∴OB∥PF1，
∴PF1⊥PF2，
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，||＝||，
∴|PF2|＝(＋1)a，|PF1|＝(＋3)a，
∴由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得
(12＋6)a2＋(4＋2)a2＝4c2，
∴e2＝4＋2，∴e＝＋1.
三、解答题
15．(2022·咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB的面积的最大值．
解：(1)∵e＝＝，
∴e2＝＝＝，∴a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，
∴＋＝1.∴a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
Δ＝4m2－8m2＋16>0，
解得|m|<2.
x1＋x2＝－2m，x1·x2＝2m2－4.
则|AB|＝×
＝×
＝.
点P到直线l的距离d＝＝，
∴S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2，
当且仅当m2＝2即m＝±时取得最大值．
∴△PAB面积的最大值为2.
16．(2022·内蒙古评估测试)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；
(2)在(1)的条件下，若A，B，F三点在同始终线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．
解：(1)由于∠BFD＝120°，|BF|＝|FD|，
所以∠FBD＝∠FDB＝30°，
在Rt△BRF中，由于|FR|＝p，
所以|BF|＝2p，|BR|＝p.
在Rt△DRF中，同理有|DF|＝2p，|DR|＝p，
所以|BD|＝|BR|＋|RD|＝2p，
圆F的半径|FA|＝|FB|＝2p.
由抛物线定义可知，A到l的距离d＝|FA|＝2p，
由于△ABD的面积为8，
所以|BD|·d＝8，
即×2p×2p＝8，解得p＝－2(舍去)或p＝2，所以F(1,0)，圆F的方程为(x－1)2＋y2＝16.
(2)由于A，B，F三点在同始终线上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°，
由抛物线定义知，|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，
直线DF的斜率k＝tan 60°＝，其方程为y＝(x－1)，
解方程组得
(舍去)或
所以点E到DA的距离为
d′＝|DR|－|yE|＝2－＝，
所以S△EDA＝|DA|·d′＝×4×＝.
17．(2022·长春调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．
(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程．
解：(1)设半焦距为c.
由题意知，AF，AB的中垂线方程分别为x＝，y－＝，
于是圆心坐标为.
所以p＋q＝＋≤0，
整理，得ab－bc＋b2－ac≤0，
即(a＋b)(b－c)≤0，
所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2.
所以e2＝≥，即≤e<1.
故椭圆的离心率的取值范围为.
(2)当e＝时，a＝b＝c，此时椭圆的方程为＋＝1，
设M(x，y)，则－c≤x≤c，
所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.
当c≥时，上式的最小值为c2－，
即c2－＝，解得c＝2；
当0<c<时，上式的最小值为(c)2－c＋c2，
即(c)2－c＋c2＝，解得c＝，不合题意，舍去．
综上所述，椭圆的方程为＋＝1.
18．(2022·威海一模)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知＝.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴上存在肯定点M(1,0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．
解：(1)∵A(－a,0)，设直线方程为y＝2(x＋a)，B(x1，y1)．
令x＝0，则y＝2a，∴C(0,2a)，
∴＝(x1＋a，y1)，＝(－x1,2a－y1)．
∵＝，
∴x1＋a＝(－x1)，y1＝(2a－y1)，
整理，得x1＝－a，y1＝a.
∵B点在椭圆上，
∴2＋2·＝1，
∴＝，
∴＝，即1－e2＝，
∴e＝.
(2)∵＝，可设b2＝3t，a2＝4t，
∴椭圆的方程为3x2＋4y2－12t＝0.
由得
(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0.
∵动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，
∴Δ＝0，即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0，整理得m2＝3t＋4k2t.
设P(x1，y1)，
则有x1＝－＝－，y1＝kx1＋m＝，
∴P.
又Q(4,4k＋m)，x轴上存在肯定点M(1,0)，使得PM⊥QM，
∴·(－3，－(4k＋m))＝0恒成立．
整理，得3＋4k2＝m2，
∴3＋4k2＝3t＋4k2t恒成立．
故t＝1，所求椭圆方程为＋＝1.
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