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第一章章末小结
1.正弦定理及其常见变形公式
(1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即==.
(2)正弦定理常见变形公式:
①a= = ,b= = ,c= = ;
②a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C ;
③a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C (R为△ABC外接圆的半径).
2.余弦定理
(1)余弦定理及表达式
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角余弦的积的两倍,即 a2=b2+c2-2bccos A , b2=c2+a2-2cacos B , c2=a2+b2-2abcos C .
(2)余弦定理的推论:
cos A= ;cos B= ;cos C= .
3.解三角形的四种类型及正、余弦定理的应用
依据三角形中的已知量,求解未知量的过程叫作解三角形.在解三角形时,有下面四种常见类型:
(1)已知两角A,B及其一边a(“角边角”型):
求解时,我们可以依据A+B+C=180°求出C,再利用正弦定理 == 求出 b,c .
(2)已知三边a,b,c(“边边边”型):
这种类型我们可以依据 余弦定理 求出其中的两角,再依据A+B+C=180°求得第三角.
(3)已知两边a,b及其夹角C(“边角边”型):
这种类型可以先由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 求得c,再依据余弦定理求出角A,B.
(4)已知两边及一边的对角(“边边角”型):
求解时一般需综合使用正、余弦定理,有解的状况分为以下几种:在△ABC中,已知a,b和角A时,解的状况如下:
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解个数
一解
两解
一解
一解
上表中,A为锐角时,若 a<bsin A ,三角形无解;A为直角时,若 a≤b 三角形无解.这些类型在求解时,应依据题设机敏处理,使用正弦定理的状况多一点,但很多时候也可接受余弦定理.
4.三角形面积公式
(1)已知一边和这边上的高:S=aha=bhb=chc.
(2)已知两边及其夹角:
S= absin C = acsin B = bcsin A .
(3)已知三边:
S= ,这里p=.
(4)已知三边和外接圆半径R,则S= .
5.正、余弦定理应用举例
(1)解三角形应用题的基本思路
解三角形时,通常要依据题意,对所给的实际问题进行分析,从中抽象出一个或几个三角形.通过解这些三角形,得到其边、角的大小,从而得出实际问题的解.具体解答主要分为以下几步:
① 分析 :理解题意,分清已知与未知,画出示意图.
② 建模 :依据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题.
③ 求解 :利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;
④ 检验 :检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.
(2)在使用正、余弦定理时应留意以下几点:
①已知三角形 两边及其中一边的对角 时,要留意对解的个数的推断;
②理解正、余弦定理及其常见的变形的结构及功能,是快速选择公式解题的关键;
③利用余弦定理解三角形时,要留意依据条件恰当选取公式.一般地,求边长时,使用 余弦定理 ,求角时,使用 定理的推论 ;
④要留意正弦定理与余弦定理结合使用,同时,要留意三角恒等变换在其中的应用;
⑤利用余弦定理求三角形内角时,一般先求小角,后求大角;
⑥在解题时,留意体会分类争辩思想、等价转化思想的应用.
在解三角形时,要依据题目特点,机敏选用正弦或余弦定理,力争使求解思路、求解过程最为简化,提高运算效率.
(3)在实际应用问题中的有关的术语、名词
在实际问题中毁灭频率较高的术语有仰角、俯角、方位角、方向角、铅垂平面等.
①铅垂平面是指与 水平面 或海平面垂直的平面.
②仰角与俯角是指在同一铅垂平面内,视线与水平线的夹角.当视线在水平线之上时,称为 仰角 ;当视线在水平线之下时,称为 俯角 .
③方位角:从正北方向 顺时针 到目标方向线的水平角, “方位角是45°”也就是“北偏东45°”.
④方向角:从指定方向线到 目标方向线 的水平角.如:“南偏西60°”,指以 正南 方向为始边,向西顺时针旋转60°.
题型一:正弦定理在解三角形中的应用
如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°.求BD的长.
【方法指导】在△ABD中,AB与对角∠ADB确定,由正弦定理可知,要求BD只需求出sin∠BAD,而∠BAD与∠ABC互补.在△ABC中,AB=5,∠BCA=30°,AC=9,故用正弦定理可得sin∠ABC.
【解析】在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,
由正弦定理,得
=,
∴sin∠ABC===.
∵AD∥BC,∴∠BAD=180°-∠ABC.
于是sin∠BAD=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC=.
同理,在△ABD中,AB=5,sin∠BAD=,∠ADB=45°,解得BD=.
【小结】本题的求解,主要是依据条件选择合适的三角形反复使用正弦定理.在求解三角形的过程中,有时并不是单一的毁灭一个三角形,当多个三角形毁灭、数据比较杂乱时,一方面要留意认真甄别数据,将关键的数据聚焦到尽可能少的三角形中,另一方面要发觉数据间的联系,以便能串联起解题的线索.
题型二:三角形外形的推断
在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C.试推断三角形的外形.
【方法指导】已知条件中有边和角的混合关系,可将边转化为角或将角转化为边.
【解析】将已知等式变为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C,
即b2+c2=(bcos C+ccos B)2.
令b=2Rsin B,c=2Rsin C,
则右式=4R2(sin Bcos C+sin Ccos B)2=4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2,
∴b2+c2=a2,故△ABC为直角三角形.
【小结】三角形外形的推断,一般要涉及到三角等式的化简或者三角关系式的求解,其解答的思路和过程化繁为简、统一“边”、“角”.在三角形外形的推断中,不仅有常见的一些特殊三角形外形的推断,如直角三角形、等腰三角形、等边三角形等,而且还有斜三角形的推断,如锐角三角形、钝角三角形等.
题型三:三角恒等式的证明
在△ABC中,求证:a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.
【方法指导】本题所要求证的等式中,边、角混合在一起,并且等式右端明显比左端繁琐,所以基本的证题思路是从右向左化简.在化简右边的式子时,要依据余弦定理的推论,将“角”向“边”进行转化,使所要求证的等式在形式上统一.
【解析】第一个等式右边=bcos C+ccos B=b×+c×=+==a=左边.
类似可以证明另外两个等式.
【小结】三角恒等式的证明,实际上是使用正、余弦定理以及三角关系式的过程,在证明时要把握我们所讲的策略,即化繁为简、统一“边”“角”.化繁为简指的是从较为繁杂的一边向简洁的一边进行转化,从而证明等式的成立,统一“边”“角”指的是在等式的一端假如边、角同时存在,要利用定理将“边”化为“角”或者将“角”化为“边”,使等式在形式上完成统一,以利于等式的证明.
题型四:三角形面积公式的考查
已知外接圆半径为6的△ABC的边长a,b,c和面积S满足条件:S=a2-(b-c)2且sin B+sin C=.求:
(1)sin A;
(2)△ABC面积的最大值.
【方法指导】(1)由S=bcsin A,结合条件得出关系式,再结合余弦定理得出sin A与cos A的关系;(2)由sin B+sin C=及外接圆半径可得b+c的值,再由S=bcsin A结合二次函数性质得出最值.
【解析】(1)由S=bcsin A得bcsin A=a2-(b-c)2,
即bcsin A=2bc-(b2+c2-a2),
即bcsin A=2bc-2bccos A,∴sin A=4-4cos A,
∵sin2A+cos2A=1,∴sin A=.
(2)∵sin B+sin C=+=,
∴b+c=×2R=16,即c=16-b,
∴S=bcsin A=b(16-b)×
=(-b2+16b)=[-(b-8)2+64].
∴当b=8时,Smax=.
【小结】三角形的面积公式与正、余弦定理联系亲热,也是高考考查的热点题型.由于相关的面积公式有三个,所以在使用时,要结合条件、待求量等选择合适的面积公式.已知面积求边长、角度的大小,以及已知边、角求面积等的考查,无非是对正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用.
题型五:解三角形在实际问题中的应用
如图所示,为了计算渭河岸边两景点B与C的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两个测量点.现测得AD⊥CD,AD=100 m,AB=140 m,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点B与C之间的距离(假设A,B,C,D在同一平面内,测量结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236).
【方法指导】欲求BC,可以考虑解△BCD,而在△BCD中,由条件可知∠BCD=135°,∠CDB=30°,先用余弦定理求出一边BD,然后再用正弦定理求出BC的距离即可.
【解析】在△ABD中,设BD为x,则BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,即1402=x2+1002-2×100×x×cos 60°,
整理,得x2-100x-9600=0,
解得x1=160,x2=-60(舍去),故BD=160(m).
在△BCD中,由正弦定理,得=,
又AD⊥CD,∠BDA=60°,所以∠CDB=30°,
所以BC=·sin 30°=80≈113(m).
即两景点B与C之间的距离约为113 m.
【小结】应用解三角形学问解决实际问题需要下列四步:
(1)分析题意,理清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等;
(2)依据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;
(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关学问正确求解;
(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.
题型六:正、余弦定理与三角函数、平面对量的综合考查
已知向量m=(sin 2x,2cos x),n=(,cos x)(x∈R),函数f(x)=m·n-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若f(A)=1,b=1,△ABC的面积为,求边a的值.
【方法指导】(1)利用向量的数量积以及挂念角公式将f(x)化简,然后可求得周期;(2)可利用f(A)=1求得角A的值,再依据三角形的面积公式进行求解.
【解析】(1)f(x)=m·n-1=(sin 2x,2cos x)·(,cos x)-1
=sin 2x+2cos2x-1
=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),
∴f(x)的最小正周期为T=π.
(2)由题意知:f(A)=2sin(2A+)=1,
∴sin(2A+)=,又<2A+<,
∴2A+=,∴A=.
又S△ABC=bcsin A=c=,∴c=2.
a2=b2+c2-2bccos A=1+4-4×=3,
∴a=.
【小结】正、余弦定理,三角形面积公式,和差角公式,二倍角公式,平面对量等学问的综合应用是命题的重点.熟记相应的公式,并在此基础上依据问题与条件机敏运用,一般的思路无非是边角的求解或转化.
1.(2021年·天津卷)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于( ).
A. B. C. D.
【解析】由余弦定理得|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|·cos B=5,由正弦定理得=⇒sin A==,故选C.
【答案】C
2.(2021年·山东卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
【解析】(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
∴4=a2+c2-ac,∴4=(a+c)2-ac,
∴ac=9,又a+c=6,∴a=c=3.
(2)由(1)知A=C,如图,在等腰三角形ABC中,取AC中点D,连接BD,则BD⊥AC,且BD==2,∴sin A=,cos A=,
∴sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=×-×=.
3.(2021年·江西卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范围.
【解析】(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,
即有sin Asin B-sin Acos B=0,
由于sin A≠0,所以sin B-cos B=0,又cos B≠0,所以tan B=,又0<B<π,所以B=.
(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.
由于a+c=1,cos B=,有b2=3(a-)2+.
又0<a<1,于是有≤b2<1,即有≤b<1.
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