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第三节 简洁的规律联结词、全称量词与存在量词
[全盘巩固]
1．(2021·福州模拟)命题“∀x∈R，x＞0”的否定是( )
A．∃x0∈R，x0＜0 B．∀x∈R，x≤0
C．∀x∈R，x＜0 D．∃x0∈R，x0≤0
解析：选D 全称命题“∀x∈R，x＞0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并对结论进行否定，把“＞”改为“≤”，即“∃x0∈R，x0≤0”．
2．下列命题为真命题的是( )
A．∃x0∈Z,1<4x0<3 B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0
C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
解析：选D 1<4x0<3，<x0<，这样的整数x0不存在，故A为假命题；5x0＋1＝0，x0＝－∉Z，故B为假命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝2＋>0，故D为真命题．
3．(2022·衢州模拟)已知命题p：存在x0∈(0，＋∞)，＜；命题q：△ABC中，若sin A＞sinB，则A＞B，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨()
C．()∧q D．p∧()
解析：选C 当x∈(0，＋∞)时，＞，故命题p为假命题；在△ABC中，sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，故命题q为真命题．所以()∧q为真命题．
4．已知命题p：∃x0∈，sin x0＝，则为( )
A．∀x∈，sin x＝ B．∀x∈，sin x≠
C．∃x0∈，sin x0≠ D．∃x0∈，sin x0>
解析：选B 依题意得，命题应为：∀x∈，sin x≠.
5．(2022·烟台模拟)下列命题为真命题的是( )
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x≠1”
B．命题p：∃x0∈R，sin x0＞1，则：∀x∈R，sin x≤1
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．“φ＝＋2kπ(k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件
解析：选B 对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是 “若x2－3x＋2≠0，则x≠1”，A为假命题；由全称命题的否定是特称命题知，B为真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q为假命题，故C为假命题；函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数的充要条件为φ＝＋kπ(k∈Z)，故D为假命题．
6．(2022·嘉兴模拟)已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨()
C．()∧() D．p∨q
解析：选D 抛物线y＝2x2，即x2＝y的准线方程是y＝－；当函数f(x＋1)为偶函数时，函数f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称(注：将函数f(x)的图象向左平移一个单位长度可得到函数f(x＋1)的图象)，因此命题p是假命题，q是真命题，p∧q、p∨()、()∧()都是假命题，p∨q是真命题．
7．命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．
解析：全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根”．
答案：存在k＞0，方程x2＋x－k＝0无实根
8．若命题“∃x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由于“∃x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
9．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件；命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“”中为真命题的是________．
解析：依题意知p假，q真，所以p∨q，为真．
答案：p∨q，
10．写出下列命题的否定，并推断真假．
(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；
(2)r：有些素数是奇数；
(3)s：∃x0∈R，|x0|>0.
解：(1) ：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．
(2) ：每一个素数都不是奇数，假命题．
(3) ：∀x∈R，|x|≤0，假命题．
11．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数，命题q：∀x∈，x＋＞c.假如p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数c的取值范围．
解：若命题p为真，则0＜c＜1.
若命题q为真，则c＜min，
又当x∈时，2≤x＋≤，
则必需且只需2＞c，即c＜2.
由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，
所以p、q必有一真一假．
当p为真，q为假时，无解；
当p为假，q为真时，所以1≤c＜2.
综上，c的取值范围为[1,2)．
12．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：由“p且q”为真命题，得p，q都是真命题．
p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，
所以命题p：a≤1；
q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，
只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，
所以命题q：a≥1或a≤－2.
由得a＝1或a≤－2.
故实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
[冲击名校]
1．若函数f(x)，g(x)的定义域和值域都是R，则f(x)＞g(x)(x∈R)成立的充要条件是( )
A．∃x0∈R，f(x0)＞g(x0)
B．有无穷多个x∈R，使得f(x)＞g(x)
C．∀x∈R，f(x)＞g(x)＋1
D．R中不存在x使得f(x)≤g(x)
解析：选D 由于要恒成立，也就是对定义域内全部的x都成立，所以对于选项A来说明显不成立；而对于B，由于在区间(0,1)内也有无穷个数，因此无穷性是说明不了任意性的，所以也不成立；对于C，由C的条件∀x∈R，f(x)＞g(x)＋1可以推导原结论f(x)＞g(x)恒成立是明显的，即充分性成立，但f(x)＞g(x)成立时不愿定有f(x)＞g(x)＋1，比如f(x)＝x2＋0.5，g(x)＝x2，因此必要性不成立；对于D，必要性明显成立，由R中不存在x使f(x)≤g(x)，依据逆否命题与原命题的等价性，则有对于任意x∈R都有f(x)＞g(x)，即充分性也成立，所以选D.
2．(2022·潍坊模拟)已知f(x)＝a(x＋2a)(x－a－3)，g(x)＝2－x－2同时满足以下两个条件：
①∀x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；
②∃x0∈(1，＋∞)，f(x0)·g(x0)＜0成立．
则实数a的取值范围是( )
A. B．(－∞，－4)∪
C．(－4，－1)∪(－1,0) D．(－4，－2)∪
解析：选C 当x＜－1时，g(x)＞0，当x＞－1时，g(x)＜0，a＝0时不符合要求；a＞0时，当x→－∞时，f(x)，g(x)均大于零，也不符合要求；当a＜0时，函数f(x)的图象开口向下，其零点为－2a，a＋3，结合函数图象，只要函数f(x)较小的零点大于－1、较大的零点大于1即满足条件，即实数a满足或解得－1＜a＜0或－4＜a＜－1，故实数a的取值范围是(－4，－1)∪(－1,0)．
[高频滚动]
1．下列有关命题的说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析：选D 在A中，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；在B中，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B错误；在C中，命题“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0”的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C错误；在D中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，故D正确．
2．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 化简得A＝{x|x>2}，B＝{x|x<0}，
C＝{x|x<0，或x>2}．
∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
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