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第一章 其次节
一、选择题
1．(2022·沈阳市质检)下列命题中，真命题是( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1<sinx<1
C．∃x0∈R,2x0<0 D．∃x0∈R，tanx0＝2
[答案] D
[解析] A错误．∵∀x∈R，x2≥0；B错误．∵∀x∈R，－1≤sinx≤1；C错误．∵由y＝2x图象可知∀x0∈R,2x0>0；D正确．
2．(文)(2021·北京市朝阳区期中)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈R,2x0＝－1，则下列推断正确的是( )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(¬q)是真命题 D．(¬p)∧q是真命题
[答案] C
[解析] 对∀x>0，x＋≥2＝4，∴p为真命题；∀x∈R,2x>0，∴q为假命题，∴p∧(¬q)是真命题．
(理)(2021·莆田市仙游一中期中)下列命题中是假命题的是( )
A．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点
C．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβ
D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
[答案] D
[解析] 要使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3为幂函数，应有m－1＝1，∴m＝2，∴f(x)＝x－1，明显此函数在(0，＋∞)上单调递减，∴A正确；∵函数g(x)＝ln2x＋lnx＝(lnx＋)2－∈[－，＋∞)，∴y＝g(x)与y＝a总有交点，∴B为真命题；
当β＝0，α∈R时，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，∴C为真命题，当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x为偶函数，
∴D为假命题．
3．(2021·江西吉安一中期中)下列命题中，不是真命题的为( )
A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”的逆否命题
B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题
C．“x2＝9则x＝3”的否命题
D．“对顶角相等”的逆命题
[答案] D
[解析] A中原命题为真命题，故逆否命题为真；B中逆命题为“正方形的四条边相等”，它是真命题；C中否命题为“若x2≠9，则x≠3”明显为真命题；D中逆命题为“若两个角相等，则这两个角互为对顶角”明显为假，故选D.
4．(文)下列命题中是真命题的为( )
A．∀x∈R，x2<x＋1
B．∀x∈R，x2≥x＋1
C．∃x∈R，∀y∈R，xy2＝y2
D．∀x∈R，∃y∈R，x>y2
[答案] C
[解析] 令f(x)＝x2－x－1，∵Δ>0，∴f(x)的图象与x轴有交点，∴f(x)的值有正有负，故A、B假；令x＝－1，则对任意y∈R都有x<y2，故D假．当x＝1时，∀y∈R，xy2＝y2，故C真．
(理)下列命题中为假命题的是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2
[答案] B
[解析] 由指数函数值域知2x－1>0恒成立；当x＝1时，lgx＝0<1；∵直线y＝2与y＝tanx的图象有交点，∴方程tanx＝2有解；∴A、C、D都是真命题，当x＝1∈N*时，(x－1)2>0不成立，∴B为假命题．
5．(文)(2022·汉台区期中)已知命题“∀a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是( )
A．∀a，b∈R，若ab<0，则a<0
B．∀a，b∈R，若ab≤0，则a≤0
C．∃a，b∈R，若ab<0，则a<0
D．∃a，b∈R，若ab≤0，则a≤0
[答案] B
[解析] 条件ab>0的否定为ab≤0；
结论a>0的否定为a≤0，故选B.
(理)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
[答案] C
[解析] “都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．
6．(文)(2021·安徽皖南八校联考)下列命题中，真命题是( )
A．∃x∈R，sin2＋cos2＝
B．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
C．∀x∈(0，＋∞)，ex>1＋x
D．∃x∈R，x2＋x＝－1
[答案] C
[解析] ∵对任意x∈R，sin2＋cos2＝1，∴A假；当x＝时，sinx＝cosx，∴B假；对于函数y＝x2＋x＋1，∵Δ＝－3<0，∴y>0恒成立，∴D假；对于函数y＝ex－x－1，∵y′＝ex－1，当x>0时，y′>0，∴y＝ex－x－1在(0，＋∞)上为增函数，∴y>e0－0－1＝0，即ex>1＋x恒成立，∴C真．
(理)(2022·乐平模拟)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )
A．∀a∈R, f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．∀a∈R, f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．∃a∈R, f(x)是偶函数
D．∃a∈R, f(x)是奇函数
[答案] C
[解析] 明显a＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选C.
二、填空题
7．(2022·云南昆明质检)下面有三个命题：
①关于x的方程mx2＋mx＋1＝0(m∈R)的解集中恰有一个元素的充要条件是m＝0或m＝4；
②∃m∈R，使函数f(x)＝mx2＋x是奇函数；
③命题“已知x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1”是真命题．
其中真命题的序号是________．
[答案] ②③
[解析] ①中，当m＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m＝0时，f(x)＝x明显是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“已知x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题．
8．(文)若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是_______．
[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
[解析] 由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1或a>3.
(理)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－lnx－a≥0”与命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，－4]∪[－2，]
[解析] 若p真，则∀x∈[1,2]，(x2－lnx)min≥a，
∵y＝x2－lnx的导数y′＝x－≥0在[1,2]上恒成立，∴当x＝1时，ymin＝，∴a≤；
若q真，则(2a)2－4×(－8－6a)＝4(a＋2)(a＋4)≥0，
∴a≤－4或a≥－2.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，]．
9．(文)给出下列命题：
①y＝1是幂函数；
②函数f(x)＝2x－log2x的零点有1个；
③(x－2)≥0的解集为[2，＋∞)；
④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件；
⑤函数y＝x3是在O(0,0)处的切线是x轴．
其中真命题的序号是________(写出全部正确命题的序号)．
[答案] ④⑤
[解析] y＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y＝2x与y＝log2x的图象，由两图象没有交点知函数f(x)＝2x－log2x没有零点，②错误；x＝1是不等式(x－2)≥0的解，③错误；x<1⇒x<2，而x<2x<1，④正确；y′＝(x3)′＝3x2，∴切线的斜率k＝0，过原点的切线方程为y＝0，⑤正确．
(理)给出下列三个结论：
①命题“若a>b，则a2>b2”的逆命题为假命题；
②已知直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：x＋by＋2＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－2；
③已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x<3x；命题q：∀x∈(0，)，cosx<1，则(¬p)∧q为真命题．
其中正确结论的序号是________．(填上全部正确结论的序号)．
[答案] ①③
[解析] ①明显正确．②中l1⊥l2⇔a＋2b＝0，但a＋2b＝0与＝－2不等价，∵当a＝b＝0时，＝－2不成立，故②错；对于③，在x∈(－∞，0)上，y＝2x的图象恒在y＝3x的上方，所以不存在这样的x使得2x<3x成立，命题p为假命题，命题q为真命题，所以(¬p)∧q为真命题，故③正确．
三、解答题
10．(2022·江苏连云港质量调研)已知命题：“∀x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] (1)命题“∀x∈[－1,1]，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，则x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，即集合B＝(2，＋∞)．
(2)对于不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>a＋2，即a>1时，解集A＝(2＋a,3a)，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，即A⊆B成立，∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)．
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊆B成立．此时a＝1.
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝(3a,2＋a)，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，即A⊆B成立，∴3a≥2，此时a∈[，1)．
综合①②③，得a∈[，＋∞).
一、选择题
11．(文)(2022·开原月考)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥2 B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2
[答案] A
[解析] 由p∨q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2，故选A.
(理)(2022·唐山市二模)已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋)的图象关于点(，0)对称，则下列命题中的真命题为( )
A．p∧q B．p∧ (¬q)
C．(¬p)∧q D．(¬p)∨(¬q)
[答案] A
[解析] ∵p真，q真，∴p∧q为真，故选A.
12．(2021·山东菏泽质检)f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是( )
A．(0，] B．[，3]
C．[3，＋∞) D．(0,3]
[答案] A
[解析] 由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤，又a>0，故a的取值范围是(0，]．
13．(2021·甘肃天水一中段试)下列命题的说法错误的是( )
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．对于命题p：∀x∈R，x2＋x＋1>0，则¬p：∃x∈R，x2＋x＋1≤0
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
[答案] D
[解析] 由“一假且为假”知，p∧q为假命题时，p、q至少有一个为假命题，但不愿定都是假命题，故选D.
14．(文)(2021·合肥市庐江二中、巢湖四中联考)下列说法错误的是( )
A．若命题p：∃x∈R，x2－x＋1＝0，则¬p：∀x∈R，x2－x＋1≠0
B．“sinθ＝”是“θ＝30°”的充分不必要条件
C．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
D．已知p：∃x∈R，cosx＝1，q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则“p∧(¬q)”为假命题
[答案] B
[解析] 由存在性命题的否定为全称命题，“＝”的否定为“≠”知A正确；sinθ＝时，θ＝30°不愿定成立，但θ＝30°时，sinθ＝，∴B错误；又否命题既否定条件，又否定结论知C正确；∵x＝0时，cosx＝1，∴p真，又x2－x＋1＝(x－)2＋>0，∴q真，∴p∧(¬q)为假命题，
∴D正确．
(理)(2022·山东淄博一模)下列说法正确的是( )
A．“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件
B．已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(X≤4)＝0.84，则P(X≤0)＝0.16
C．若a，b∈[0,1]，则不等式a2＋b2<成立的概率是
D．已知空间直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c
[答案] B
[解析] 由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题，所以p∧q不愿定是真命题，故A错；由X～N(2，σ2)知，正态曲线的对称轴为X＝2，由于P(X≤4)＝0.84，所以P(X≤0)＝P(X>4)＝1－P(X≤4)＝0.16，B正确；a，b∈[0,1]确定的点(a，b)对应正方形面积为1，满足a2＋b2<的点(a，b)对应图形的面积为π·()2＝，所以不等式a2＋b2<成立的概率是，C错；由a⊥b，b⊥c时，a∥c或a，c为异面直线或相交直线，D错．故选B.
二、填空题
15．(2021·吉林四平一模)给出下列四个结论：
①命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；
②函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有3个零点；
③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f ′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，f ′(x)>g′(x)．
其中正确结论的序号是________．(填写全部正确结论的序号)
[答案] ①③
[解析] ①明显正确；②由y＝x与y＝sinx的图象可知，函数f(x)＝x－sinx(x∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，∴x<0时，f ′(x)>0，g′(x)<0，∴f ′(x)>g′(x)，③正确．
16．(文)已知命题“假如|a|≤1，那么关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．
[答案] 2
[解析] 由|a|≤1，得－1≤a≤1，
且Δ＝(a＋2)2＋4(a2－4)
＝5(a＋)2－－12
≤5(1＋)2－<0，
∴原命题为真，逆否命题亦为真．
反之，如a＝－2时，所给不等式的解集即为空集，
但a∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．
(理)下列结论：
①若命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(¬q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为______．(把你认为正确结论的序号都填上)
[答案] ①③
[解析] ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧(¬q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
三、解答题
17．(文)已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．
[解析] ∵x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立，
∴a>＝－x在x∈[1,2]上恒成立，
令g(x)＝－x，则g(x)在[1,2]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝1，
∴a>1.即若命题p真，则a>1.
又∵函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，
∴u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x2－2ax＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a≤1，u(1)>0，∴－1<a≤1，
即若命题q真，则－1<a≤1.
若命题“p∨q”是真命题，则a>－1.
(理)(2022·浙江绍兴第一中学诊断)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)上单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求a的取值范围．
[解析] 当0<a<1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内递减．
曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.
(1)若p正确，且q不正确，则a∈(0,1)∩[，]，即a∈[，1)；
(2)若p不正确，且q正确，则a∈(1，＋∞)∩[(0，)∪(，＋∞)]，即a∈(，＋∞)．
综上所述，a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．
18．(2022·颖上一中月考)已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z)与(1)中所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线－＝1交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量＋＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
[解析] (1)圆M：(x－2)2＋y2＝64的圆心M的坐标为(2,0)，半径R＝8.
∵|AM|＝4<R，∴点A(－2,0)在圆M内．
设动圆C的半径为r，圆心为C(x，y)，依题意得r＝|CA|，且|CM|＝R－r，
即|CM|＋|CA|＝8>|AM|.
∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A、M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝4，c＝2，∴b2＝a2－c2＝12.
∴所求动圆的圆心C的轨迹方程为＋＝1.
(2)由消去y化简整理得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0，
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－
Δ1＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－48)>0①
由消去y化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0.
设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3＋x4＝，
Δ2＝(－2km)2＋4(3－k2)(m2＋12)>0②
∵＝(x4－x2，y4－y2)，＝(x3－x1，y3－y1)，
且＋＝0，
∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0，
即x1＋x2＝x3＋x4，∴－＝，
∴km＝0或－＝.解得k＝0或m＝0.
当k＝0时，由①、②得－2<m<2，
∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1,0,1,2,3；
当m＝0时，由①、②得－<k<，
∵k∈Z，∴k＝－1,0,1.∴满足条件的直线共有9条．
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