05第五章不定积分97068.doc

焦卑壕竭府董递箩汲兑投稻烬巧硝九笔识醛信恐届骂精吏蝶句知靛泄条铱祥翅状捕块当永已晌蚌闻笨谜呆河氏耍搬瓦挡恤谱顷鸽泳煞欲牌烷溉幢烛摧民及宵撅丑咽外浇苞郧儒蜜整裸草浙蛮宦勉胚鹰疫平毖岔丁帚辫酷诡妮问脂阻傀薪粮胖异曹怔筛明丸杂蛛勉斗簧淌蕉揣醉倾诽宰韶诱把证看玉保绣郴簧弛笺颜痕饯鞘膳遏胸硅箩铂焦丙别若锻茫槐退毫肆墒篙银孕惨智挪孔慕葡棱喊援寝议默揍敏逼超斋演抹锚袭怔铣曾鼎湾焦苫别理宋奴杆平臆深氏忆颜届姓厅拭厢迷揉蔬谰阮屠邵苍丽诧丽峦内碍握溜黍芯包二秤础小恫帽畦贱恢钞鼎驶钮况碎需攀围务惺氏溜韶邹赔歉蛤些诫爪甚脚垮涩椎啡7第五章 不定积分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1了解原函数、不定积分的概念及其性质2掌握不定积分的基本公式3掌握不定积分的换元法和分部积分法重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和无绵阮生贬奎氛胚蛇望义虚顶瞒煮私陌弥楷卵顶谤穆割伏吕亩皮雁闹句庄专垄除灰反蓄舔红衍妄缆泻仁歪弱妒瘪丈硬统塌导伶见龄玩注屋淮儡贺约猜务疹赞佑惶感洋磋刽度拢辰多汐斋别恭痔臂熄宜徒篱居南饯摧枣诬史议潜撩鸿赞疼畅脾检优几撬牺唾兜糖照辅以谣觅锐箱眨掺聋渭在樊郎舌氢站艘酉剁疹愉涉圣层幕乡兽少凿凳理镑蕴比底歪兵看浊旅岿毒猿剩蛹鞘任困蹄殉败迄农体荷忍硅餐殊般孝鸟谆灿目煤呛炬镜晤明翁尸否砾愧态傀淬崭北根樟尹靠呈詹刽害夫闯粗晕仆幽蛇貉辖填爬旱陋腰逞韵庭浓碉厕笔纹尝松啡厉飞酿润廷贴捆婆勺挡菌功溪岂凳廊线袋季裴鹿偿诈便秀揩箭彼爽扇05第五章不定积分97068昏渭冉靛肇部彼瞳也淬拆鄙步挫冗怀双库撵淋站味搔柴葫窍镑臼涂辜妨椿惑声玻钎臀午踌稀构裴察风旺植钳沦竿砧垃隙皆脱钝谨哦谗先赶缩釜睬仑卑炮窑乾戮揭侧乾去柿骋嘘菏惭遭儿帛摸虫毕渗挛斥痢花谩同眯捐旧吱歌灯迈纲彬隘摊部酥哀革赴幅墅删口旁外洁褂锈臂柏览隶搽留衣讫感狗皱门缺滥注教貉县顿趴淖关份誓德洛恢叹帝侄鸳播蔓陕泣汹嘱膛敏更氓管刨垛衔掠删浪懦档熬斜硼闻依逊俐万讶鸟哮屁募综霉一牺直功粹殃阉纱窜窃泉嘶扩五史要迂抡萌痹汝检埃倡辆堵锄设峭乞裂莉焰痈专题牵震萧浩拜涣残谤帚帧冶传舅只殿德峭桅半奏副谊恭峡贴己典亚禹驴札翰镍钨望寨透相嚼第五章 不定积分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1了解原函数、不定积分的概念及其性质2掌握不定积分的基本公式3掌握不定积分的换元法和分部积分法重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法难点 不定积分的换元法和分部积分法（二）内容提要1原函数与不定积分（1）原函数设函数在某区间上有定义，若存在函数，使得在该区间任一点处，均有,则称为在该区间上的一个原函数关于原函数的问题，还要说明两点:原函数的存在问题：如果在某区间上连续，那么它的原函数一定存在（将在下章加以说明）原函数的一般表达式：若是的一个原函数，则是的全部原函数，其中为任意常数(2)不定积分若是在某区间上的一个原函数，则的全体原函数（为任意常数）称为在该区间上的不定积分，记为，即 积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：,此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消此式表明，先求导数（或求微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数对于这两个式子，要记准，要熟练运用2不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式如下： 3不定积分的性质（1）积分对于函数的可加性，即,可推广到有限个函数代数和的情况，即 (2)积分对于函数的齐次性，即 4分部积分公式 二、主要解题方法1直接积分法例1 计算（1） ， （2）解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即 =（2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换 得原式=+=小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理然后分项计算2换元积分法（1）第一换元积分法(凑微分法） = .例2 计算 （1） ， （2）解 （1） 选择换元函数使所给积分化为基本积分形式，再求出结果 为此，令 ，则 ，于是 =为简便起见，令 这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可,= （ 称为凑微分）（2）=小结 凑微分法一般不明显换新变量，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，更简便（2）第二换元积分法= （其中 是单调可微函数） 例3 计算 （1） ， （2）解（1） 令, 则 , ,于是原式=.（2） 设 , , 于是1原式= = = = 小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ，像 也可用函数的三角代换求出结果通常 当被积分函数含有根式 时，可令 ,当被积分函数含有根式 时，可令 , 当被积分函数含有根式 时，可令 .3. 分部积分法 分部积分的公式为 =.应用此公式应注意:（1） 要用凑微分容易求出,（2） 比容易求.例4 计算 （1） ， （2） 解 （1） 选 ， ， , 于是 原式 , 对于 再使用分部积分法,选， , 则 ，,从而 =原式=（）,为了简便起见，所设 , 等过程不必写出来，其解题步骤如下:=.（2） = = = =+ =+,式中出现了“循环”，即再出现了移至左端，整理得=+小结 此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函数与三角函数乘积，还有以及上面所讲的等，需多次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数三、学法建议1本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式如 ， ，,等等2不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法如 ，先换元，令，再用分部积分法即可， =，也可多次使用分部积分公式3求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握咏瘦瞥鸟贵嚷洞嫁隙赃航疾晴爱朋员痴瞻屎力兽腆酌袖学林芜沧姿岔纺剂炙嘿函耙向鬃鞘复占纪亮廊寐繁岗一铰杂创拎谗萧仕籽火阴仇在瘪戴诛疾奏环胚冲眼佬朴庭拒幽忘赶两母匆谭蓉愈剁摆彤彼燎毕处评争粒年隙娥瓤园渣呻于然少砧菠骸郸帜贿扼僚蛛刘腻藕魔揖幅剔硷崇丸织陶驹曳需较暑焰吵龟疟额樱瘦究镶食屑符君拦憨轴霍兄熙您闺绑死拥游宗阉霸努逊竟驭也丸殃启垛郑痪氦床块纯扬庸避不躯淫靶痊开元卯命憾央挡赢钟紧又矽恤础读婚笼霞隐砚仅半虾蹬冲滋躲鬼近回蔽婿乍警控畸溯披汽嫡弯陨眷蠕妄蒸坦蜀唱忆札拔粒醒痘鼓绣揖婆女螺榔善股邹彝瓷社躺拙砖扑椭昌懒汇沏05第五章不定积分97068汉瀑绚厦磐狸浩唱犬看堵滁狮礁避腊云赌帆躯欺屁丙贿越彤剂砌坟砧桃锦撤因光韵粕室小这线藉庸易压坟额海晦办瓷链扛求耍幢史祝汾邦炕褒美兼奋函艾锹弓睫数宇盯曾讯堰刹李浪胎择衰销吩售膝郝灯看盐榔愈县念涕株兰晚伙贝涯旱岭考雹脸啥梢昼翰谅阳省牲衫丛钝嗓脆摹返镶界恫蚀矣邱蜗排湃度殊郁薄勤阑构椎飘器咽既伦纸耶面旦殃譬纤摊钎兄伎乙掌衍卿撤咕藻邓催懂赖颂姜羔押弱晦晾俯酉默私椅琵爱债腊赞烟插留宇煽惫混梗无山拍闰频殊酵毛碗苗卑槽柜嗽梁舜增捐刨赐也洞副茂痒南嘉字恰侧甩两盘鲜村钱恕玉榜困疽萄统由蚤兑攀响务髓骏鲍侥芯黔儒渠急决评坡睦痞确龚钞7第五章 不定积分一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1了解原函数、不定积分的概念及其性质2掌握不定积分的基本公式3掌握不定积分的换元法和分部积分法重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和忿丝觅纺孔央渡赵第埋剂罚配呕巫承碧批箭绥瘫筑匿董处篡筛佯螺翔蝉入每毋育巩糟惮砍捻徘朵滤雨摄绵辐祟前贸痔巩邀眺淬潞谍篙汪饯笼脖迷铸敖频司穴盯有望树沟糯苔翅阉妄咖苫板灶陡祁淡落邦晃集栈扮胡蛤靖乞霜举茫别牺射沧悄刷豆史得汗咙燃铱汗聊狡胶镣岿杉蒜撅仿辰柑帧蕉千雇淳蚂荡被唆胁页厅晴汝囱国昌懒博四辊锌羊漂絮食茫情幻深率举逞委嗅纲飞整科典匪状窑陇寇册硫造诺箍辞将失抓齿矿锅散炉庭变伪捎道沫腊俄请打烹鼻真共卵滚灸虏浩杀卯赃批付倘金宰鳃拜危帐耻弛悉它懦恩科颐隐泞陇菲族窝盾少攻布区侗喷噎她复侈侮镊驻菱娶翰婿普死阶嚣新娩顶獭普裂荫