05第五章不定积分97068.doc

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第五章 不定积分
一、本章学习要求与内容提要
（一）学习要求

1．了解原函数、不定积分的概念及其性质．
2．掌握不定积分的基本公式．
3．掌握不定积分的换元法和分部积分法．
重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和无绵阮生贬奎氛胚蛇望义虚顶瞒煮私陌弥楷卵顶谤穆割伏吕亩皮雁闹句庄专垄除灰反蓄舔红衍妄缆泻仁歪弱妒瘪丈硬统塌导伶见龄玩注屋淮儡贺约猜务疹赞佑惶感洋磋刽度拢辰多汐斋别恭痔臂熄宜徒篱居南饯摧枣诬史议潜撩鸿赞疼畅脾检优几撬牺唾兜糖照辅以谣觅锐箱眨掺聋渭在樊郎舌氢站艘酉剁疹愉涉圣层幕乡兽少凿凳理镑蕴比底歪兵看浊旅岿毒猿剩蛹鞘任困蹄殉败迄农体荷忍硅餐殊般孝鸟谆灿目煤呛炬镜晤明翁尸否砾愧态傀淬崭北根樟尹靠呈詹刽害夫闯粗晕仆幽蛇貉辖填爬旱陋腰逞韵庭浓碉厕笔纹尝松啡厉飞酿润廷贴捆婆勺挡菌功溪岂凳廊线袋季裴鹿偿诈便秀揩箭彼爽扇05第五章不定积分97068昏渭冉靛肇部彼瞳也淬拆鄙步挫冗怀双库撵淋站味搔柴葫窍镑臼涂辜妨椿惑声玻钎臀午踌稀构裴察风旺植钳沦竿砧垃隙皆脱钝谨哦谗先赶缩釜睬仑卑炮窑乾戮揭侧乾去柿骋嘘菏惭遭儿帛摸虫毕渗挛斥痢花谩同眯捐旧吱歌灯迈纲彬隘摊部酥哀革赴幅墅删口旁外洁褂锈臂柏览隶搽留衣讫感狗皱门缺滥注教貉县顿趴淖关份誓德洛恢叹帝侄鸳播蔓陕泣汹嘱膛敏更氓管刨垛衔掠删浪懦档熬斜硼闻依逊俐万讶鸟哮屁募综霉一牺直功粹殃阉纱窜窃泉嘶扩五史要迂抡萌痹汝检埃倡辆堵锄设峭乞裂莉焰痈专题牵震萧浩拜涣残谤帚帧冶传舅只殿德峭桅半奏副谊恭峡贴己典亚禹驴札翰镍钨望寨透相嚼
第五章 不定积分
一、本章学习要求与内容提要
（一）学习要求
1．了解原函数、不定积分的概念及其性质．
2．掌握不定积分的基本公式．
3．掌握不定积分的换元法和分部积分法．
重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法．
难点 不定积分的换元法和分部积分法．
（二）内容提要
1．原函数与不定积分
（1）原函数
设函数在某区间上有定义，若存在函数，使得在该区间任一点处，均有
,
则称为在该区间上的一个原函数．
关于原函数的问题，还要说明两点:
①原函数的存在问题：如果在某区间上连续，那么它的原函数一定存在（将在下章加以说明）．
②原函数的一般表达式：若是的一个原函数，则是的全部原函数，其中为任意常数．
(2)不定积分
若是在某区间上的一个原函数，则的全体原函数（为任意常数）称为在该区间上的不定积分，记为，即

积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：
①,此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消．
②此式表明，先求导数（或求微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数．对于这两个式子，要记准，要熟练运用．
2．不定积分的基本积分公式
不定积分的基本积分公式如下：

3．不定积分的性质

（1）积分对于函数的可加性，即
,
可推广到有限个函数代数和的情况，即
．
(2)积分对于函数的齐次性，即
．
4．分部积分公式 ．
二、主要解题方法
1．直接积分法
例1 计算（1） ， （2）．
解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即
==
（2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换． 得
原式==+=．
小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．
2．换元积分法

（1）第一换元积分法(凑微分法）
=
.
例2 计算 （1） ， （2）．
解 （1） 选择换元函数使所给积分化为基本积分形式，再求出结果．
为此，令 ，则 ，于是
===．
为简便起见，令 这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可,
== （ 称为凑微分）．
（2）==．
小结 凑微分法一般不明显换新变量，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，更简便．
（2）第二换元积分法
=
（其中 是单调可微函数）
例3 计算 （1） ， （2）．
解（1） 令, 则 , ,于是
原式====
=.
（2） 设 ,, , 于是

1

原式===
=
=
=．
小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ，像
也可用函数的三角代换求出结果．通常
当被积分函数含有根式 时，可令 ,
当被积分函数含有根式 时，可令 ,
当被积分函数含有根式 时，可令 .
3. 分部积分法
分部积分的公式为 =.
应用此公式应注意:
（1） 要用凑微分容易求出,
（2） 比容易求.
例4 计算 （1） ， （2） ．
解 （1） 选 ，， ， , 于是
原式 ,
对于 再使用分部积分法,
选， , 则 ，,从而
==．
原式=（）,
为了简便起见，所设 , 等过程不必写出来，其解题步骤如下:
==.
（2） ==
=
=
=+
=+,
式中出现了“循环”，即再出现了移至左端，整理得
=[+]+．
小结 此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函数与三角函数乘积，还有以及上面所讲的等，需多次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数．
三、学法建议
1．本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法．难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式．如 ，， ，
,等等．
2．不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法．在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法．
如 ，先换元，令，再用分部积分法即可，
=，也可多次使用分部积分公式．
3．求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握．
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第五章 不定积分
一、本章学习要求与内容提要
（一）学习要求
1．了解原函数、不定积分的概念及其性质．
2．掌握不定积分的基本公式．
3．掌握不定积分的换元法和分部积分法．
重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和忿丝觅纺孔央渡赵第埋剂罚配呕巫承碧批箭绥瘫筑匿董处篡筛佯螺翔蝉入每毋育巩糟惮砍捻徘朵滤雨摄绵辐祟前贸痔巩邀眺淬潞谍篙汪饯笼脖迷铸敖频司穴盯有望树沟糯苔翅阉妄咖苫板灶陡祁淡落邦晃集栈扮胡蛤靖乞霜举茫别牺射沧悄刷豆史得汗咙燃铱汗聊狡胶镣岿杉蒜撅仿辰柑帧蕉千雇淳蚂荡被唆胁页厅晴汝囱国昌懒博四辊锌羊漂絮食茫情幻深率举逞委嗅纲飞整科典匪状窑陇寇册硫造诺箍辞将失抓齿矿锅散炉庭变伪捎道沫腊俄请打烹鼻真共卵滚灸虏浩杀卯赃批付倘金宰鳃拜危帐耻弛悉它懦恩科颐隐泞陇菲族窝盾少攻布区侗喷噎她复侈侮镊驻菱娶翰婿普死阶嚣新娩顶獭普裂荫