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高考椭机变量交汇题赏析
随机变量及应用是高中数学的重要内容，也是近年高考命题的一个新的亮点与热点．在高考中，随机变量及应用与函数、方程、不等式、数列、解析几何、立体几何等学问交汇融合、相互渗透，使问题的情景新颖而别致．下面以2005年高考题为例归纳随机变量与其他学问的交汇，与同学们共赏析．
一、随机变量与函数的交汇
例1 （2005年湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人巡游这3个景点的概率分别是0．4，0．5，0．6，且客人是否巡游哪个景点互不影响．设?孜表示客人离开该城市时巡游的景点数与没有巡游的景点数之差的确定值．
（1）求的分布列及数学期望；
（2）记“函数在区间上单调递增”为大事Ａ，求大事Ａ的概率．
解析：（1）分别记“客人巡游甲景点”，“客人巡游乙景点”，“客人巡游丙景点”为大事相互独立，且，，．
客人巡游的景点数的可能取值为０，1，2，3．相应地，客人没有巡游的景点数的可能取值为3，2，1，０，所以的可能取值为1，3．
，
．
所以的分布列为
1
3
0．76
0．24
．
（2）由于，所以函数在区间上单调递增，要使在上单调递增，当且仅当，即．
从而 ．
点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的定义和求法及随机变量与函数的联系，体现了“在学问的交汇处命题”的原则．
二、随机变量与方程的交汇
例2 （2005年浙江卷）袋子Ａ和Ｂ中装有若干个均匀的红球和白球，从Ａ中摸出一个红球的概率是，从Ｂ中摸出一个红球的概率为p．
（１）从Ａ中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止；
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列及数学期望．
（2）若Ａ，Ｂ两个袋子中的球数之比为，将Ａ，Ｂ中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．
解析：（1）①恰好摸5次停止的概率为．
②随机变量Ｘ的取值为０，１，２，３．由n次独立重复试验概率公式，得；
；；
．
的分布列为
0
1
2
3
．
（2）设袋子中有个球，则袋子中有个球．由，得．
点评：本题主要考查相互独立大事同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查同学们的规律思维力气．第（2）小题是通过建立方程求概率p的值．
三、随机变量与不等式的交汇
例3 （2005年辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和其次工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有Ａ，Ｂ两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为Ａ级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（１）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为Ａ级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用分别表示一件甲、乙产品的利润，在（１）的条件下，求的分布列及．
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，为何值时，大？最大值是多少？（解答时需给出图示）．
解析：（１），．
（2）随机变量的分布列是
5
2．5
0．68
0．32
2．5
1．5
0．6
0．4
，．
（3）由题设知 目标函数为．
作出可行域（如图）：
解方程组得即．
由目标函数变形得．当直线过点时，纵截距最大，此时最大，最大值为．
点评：本题主要考查相互独立大事的概率、随机变量的分布列及期望、简洁的线性规划（二元一次不等式组）模型的建立与求解等基础学问．考查通过建立简洁的数学模型以解决实际问题的力气．
四、随机变量与解析几何的交汇
例4 （2005年全国卷Ⅲ）设l为平面上过点的直线，l的斜率等可能地取，用表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望 ．
解析：由题设条件，利用点到直线的距离公式可求得，，且．
．
点评：本题将随机变量的期望与直线的斜率、点到直线的距离融合在一起，构思精致、新颖别致，充分考查了在新背景下分析和解决问题的力气．
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