资源描述
1．2．4 诱导公式(二)
课时目标 1．借助单位圆及三角函数定义理解公式四的推导过程．2．能运用公式四进行有关计算与证明．
1．诱导公式四
公式四：sin＝__________，cos＝__________，
tan＝－cot α，cot＝－tan α．
以－α替代公式四中的α，可得：
sin＝__________，cos＝__________，
tan＝cot α，cot＝tan α．
2．诱导公式四的记忆
＋α，－α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名转变，符号看象限”．
一、选择题
1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B． C．－ D．
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos 等于( )
A．－ B． C． D．－
3．已知sin＝，则cos的值等于( )
A．－ B． C． D．
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B． C．－ D．
5．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ等于( )
A．－ B． C．－ D．
6．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A． B． C．－ D．－
二、填空题
7．若sin＝，则cos＝________．
8．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．
9．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________．
10．已知tan(3π＋α)＝2，则＝________．
三、解答题
11．求证：＝－tan α．
12．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
力气提升
13．化简：sin＋cos (k∈Z)．
14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式
同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
1．学习了本节学问后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．
1．2．4 诱导公式(二) 答案
学问梳理
1．cos α －sin α cos α sin α
作业设计
1．A [f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－．]
2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝．
∴cos＝cos＝－cos
＝－sin α＝－．]
3．A [cos＝sin
＝sin＝－sin＝－．]
4．C [∵sin(π＋α)＋cos
＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝．cos＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m．]
5．C [由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－．]
6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α)＝－．]
7．－
解析 cos＝cos
＝－sin＝－．
8．1
解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)
＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1．
9．
解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝．
10．2
解析 原式＝＝＝＝2．
11．证明 左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
12．解 sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α．
∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝． ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝，
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝．
13．解 原式＝sin＋cos．
当k为奇数时，设k＝2n＋1 (n∈Z)，则
原式＝sin
＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋
＝sin－cos
＝sin－sin＝0；
当k为偶数时，设k＝2n (n∈Z)，则
原式＝sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋cos
＝－sin＋sin＝0．
综上所述，原式＝0．
14．解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又由于sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
由于α∈，所以α＝或α＝－．
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
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