高中数学(北师大版)选修1-2教案：第4章-拓展资料：复数的概念常见题型思维诊断.docx

复数的概念常见题型思维诊断
复数的概念中的有关问题在解答时极易出错，下面结合常见题型的解析与思维诊断加以讲解，以期同学们在学习时留意。
例1、m取何实数时，复数z＝i
（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
思路分析：本题是推断复数在何种状况下为实数、虚数、纯虚数。由于所给复数z已写成标准形式，即z＝a＋bi（a、b∈R）,所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题。
解答：
（1）当时，即时，即m=5。
∴m=5时，z是实数。
（2）当时，即。∴当时，z是虚数。
（3）当时，即。∴当时，z是纯虚数。
思维诊断：争辩一个复数在什么状况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，同学易忽视这一点。如本题易忽视分母不能为0的条件，丢掉，导致解答出错。
　例2、已知x是实数，y是纯虚数，且满足（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，求x与y。
思路分析：由于y是纯虚数，所以可设y=bi（b∈R，b ≠0）代入等式，把等式的左、右两边都整理成a+bi形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b值。
解答：
设y=bi（b∈R且b ≠0）代入条件并整理得（2x－1）＋i＝－b＋（b－3）i。
由复数相等的条件得解得。∴，y＝4i。
思维诊断：一般依据复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决。在解此题时，同学易忽视y是纯虚数这一条件，而直接得出等式进行求解，这是审题不细所致。
例3、已知关于x的方程有实根，求这个实根以及实数k的值。
思路分析：方程的实根必定适合方程，设为方程的实根，代入整理后得a+bi=0的形式（a、b∈R）。由复数相等的充要条件，可得关于与k的方程组，通过解方程组便可求得与k。
解答：
设是方程的实根，代入方程并整理得。由复数相等的条件得，解得：或。
∴方程的实根为，相应的k值为。
思维诊断：同学易给出如下错解：∵方程有实根，∴△＝。解得。这是由于错把实系数一元二次方程根的判别式运用到了复系数一元二次方程中。事实上，在复数集内解复系数一元二次方程，判别式△不能够推断方程有无实根。因此，解关于方程有实根的问题，一般都是把实根代入方程，用复数相等条件求解。