江苏省2021届高三数学体艺午间小练及答案：解三角形与立体几何(10).docx

高三体艺午间小练：解三角形与立体几何（10）

1．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点.

（1）若是半径的中点，求线段的长；
（2）设,求面积的最大值及此时的值.

2．如图，在三棱锥中，底面，，且，
点是的中点，且交于点.
（1）求证：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积.

参考答案
1．（1）；（2）当时，取得最大值.
【解析】
试题分析：（1）由得出，在中，利用余弦定理计算长度；（2）要求面积的最大值，需要将面积表示为的函数再求最值，明显可以用正弦的面积公式，留意到已知，故不妨用，接下来分别把表示成的函数，在中利用正弦定理得，同理，利用正弦定理，得，故的面积，运用两角差的正弦公式，降幂公式以及帮助角公式将化为同角三角函数，得，留意的范围是，可得时取最大值1，此时取最大值.
试题解析：(1)在中，,，由
； 5分
（2）平行于，
在中，由正弦定理得，即，
，
又,. 8分
记的面积为，则

=， 10分
当时，取得最大值. 12分
考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算；3、正、余弦定理.
2．（1）详见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由已知条件平面得到，再由已知条件得到，从而得到平面，进而得到，利用等腰三角形三线合一得到，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，于是得到，结合题中已知条件以及直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）利用（1）中的结论平面，然后以点为顶点，以为高， 结合等体积法求出三棱锥的体积.
（1）证明：底面，，又易知，
平面，，
又，是的中点，，
平面，，
又已知，
平面；
（2）平面，平面，
而，，，
又，，
又平面，，
而，，
，
，
.
考点：1.直线与平面垂直；2.等体积法求三棱锥的体积