2020-2021学年高中物理(沪科版)必修一学案：第2章-学案4-匀变速直线运动的规律(二).docx

学案4　匀变速直线运动的规律(二)
[学习目标定位]　1.会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义.2.会用公式v－v＝2as进行分析和计算.3.把握三个平均速度公式及其适用条件.4.会推导Δs＝aT2并会用它解决相关问题．

一、速度位移公式的推导及应用
[问题设计]
我国第一艘航空母舰“辽宁号”已有力气同时起飞3架歼15战机，如图1为辽宁舰上3个起飞点示意图，1、2号位置为短距起飞点，起飞线长105米；3号位置为远距起飞点，起飞线长195米．假如歼15战机起飞速度为50 m/s，起飞时航母静止不动，且不使用弹射系统，则战机由3号起飞点起飞的加速度至少是多少？(设跑道水平)

图1
答案　依据vt＝v0＋at①
s＝v0t＋at2②
由①得t＝③
把③代入②得
s＝v0＋a()2
整理得：v－v＝2as
将v0＝0，vt＝50 m/s，s＝195 m
代入上式得：a≈6.41 m/s2.
[要点提炼]
1．匀变速直线运动的速度位移公式：v－v＝2as，此式是矢量式，应用解题时确定要先选定正方向，并留意各量的符号．
若v0方向为正方向，则：
(1)物体做加速运动时，加速度a取正值；做减速运动时，加速度a取负值．
(2)位移s>0说明物体通过的位移方向与初速度方向相同，s<0说明物体通过的位移方向与初速度方向相反．
2．两种特殊状况
(1)当v0＝0时，v＝2as.
(2)当vt＝0时，－v＝2as.
3．公式特点：该公式不涉准时间．
二、中间时刻的瞬时速度与平均速度
[问题设计]
一质点

图2
做匀变速直线运动的v－t图像如图2所示．已知一段时间内的初速度为v0，末速度为vt.
(1)这段时间内的平均速度(用v0、vt表示)．
(2)中间时刻的瞬时速度v.
(3)这段位移中间位置的瞬时速度v.
答案　(1)由于v－t图像与t轴所围面积表示位移，t时间内质点的位移可表示为s＝·t①
平均速度＝②
由①②两式得
＝
(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即：v＝.
(3)对前半位移有v2－v＝2a
对后半位移有v－v2＝2a
两式联立可得v＝
[要点提炼]
1．中间时刻的瞬时速度v＝.
2．中间位置的瞬时速度v＝ .
3．平均速度公式总结：
＝，适用条件：任意运动．
＝，适用条件：匀变速直线运动．
＝v，适用条件：匀变速直线运动．
留意　对匀变速直线运动有＝v＝.
[延长思考]
在匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度v与中间位置的瞬时速度v哪一个大？
答案　如图甲、乙所示，中间位置的瞬时速度与t′对应，故有v>v.

三、重要推论Δs＝aT2的推导及应用
[问题设计]
物体做匀变速直线运动，加速度为a，从某时刻起T时间内的位移为s1，紧接着其次个T时间内的位移为s2.试证明：s2－s1＝aT2.
答案　证明：设物体的初速度为v0
自计时起T时间内的位移
s1＝v0T＋aT2①
在其次个T时间内的位移
s2＝v0·2T＋a(2T)2－s1＝v0T＋aT2.②
由①②两式得连续相等时间内的位移差为
Δs＝s2－s1＝v0T＋aT2－v0T－aT2＝aT2，
即Δs＝aT2.
[要点提炼]
1．匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒定值，即Δs＝aT2.
2．应用
(1)推断物体是否做匀变速直线运动
假如Δs＝s2－s1＝s3－s2＝……＝sn－sn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
(2)求加速度
利用匀变速直线运动中连续相等时间内的位移差Δs，可求得a＝.

一、速度与位移关系的简洁应用
例1　A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开头做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则sAB∶sBC等于(　　)
A．1∶8　　　B．1∶6　　　C．1∶5　　　D．1∶3
解析　由公式v－v＝2as，得v＝2asAB，(3v)2＝2a(sAB＋sBC)，联立两式可得sAB∶sBC＝1∶8.
答案　A
二、＝v＝的机敏运用
例2　一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s,4 s内位移为20 m，求：
(1)质点4 s末的速度；
(2)质点2 s末的速度．
解析　解法一　利用平均速度公式
4 s内的平均速度＝＝，
代入数据解得，4 s末的速度v4＝8 m/s
2 s末的速度v2＝＝ m/s＝5 m/s.
解法二　利用两个基本公式
由s＝v0t＋at2得a＝1.5 m/s2
再由vt＝v0＋at得
质点4 s末的速度v4＝(2＋1.5×4) m/s＝8 m/s
2 s末的速度v2＝(2＋1.5×2) m/s＝5 m/s
答案　(1)8 m/s　(2)5 m/s
针对训练　一辆汽车从静止开头由甲地动身，沿平直大路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度图像如图3所示，那么0～t和t～3t两段时间内(　　)

图3
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
答案　BD
解析　两段的加速度大小分别为a1＝，a2＝，A错．两段的平均速度1＝2＝，C错，D对．两段的位移s1＝vt，s2＝vt，B对．
三、对Δs＝aT2的理解与应用
例3　做匀加速直线运动的物体，从开头计时起连续两个4 s的时间间隔内通过的位移分别 是48 m和80 m，则这个物体的初速度和加速度各是多少？
解析　解法一　依据关系式Δs＝aT2，物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2.由于前4 s内的位移48＝v0×4＋a×42，故初速度v0＝8 m/s.
解法二　设物体的初速度和加速度分别为v0、a.由公式s＝v0t＋at2得：
前4 s内的位移48＝v0×4＋a×42
前8 s内的位移48＋80＝v0×8＋a×82
解以上两式得v0＝8 m/s，a＝2 m/s2
解法三　物体运动开头后第2 s、第6 s时的速度分别为：
v1＝＝ m/s＝12 m/s，v2＝＝20 m/s
故物体的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
初速度v0＝v1－a·＝12 m/s－2×2 m/s＝8 m/s
答案　8 m/s　2 m/s2

1.(速度与位移关系的简洁应用)两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为(　　)
A．1∶2　　　B．1∶4　　　C．1∶　　　D．2∶1
答案　B
解析　由0－v＝2as得＝，故＝()2＝，B正确．
2．(＝v＝的机敏应用)汽车自O点动身从静止开头在平直大路上做匀加速直线运动，途中在6 s内分别经过P、Q两根电线杆，已知P、Q电线杆相距60 m，车经过电线杆Q时的速率是15 m/s，则下列说法正确的是(　　)
A．经过P杆时的速率是5 m/s
B．车的加速度是1.5 m/s2
C．P、O间的距离是7.5 m
D．车从动身到经过Q所用的时间是9 s
答案　ACD
解析　由于汽车在P、Q间的平均速度等于它经过两点时瞬时速度的平均值，即＝，故vP＝－vQ＝5 m/s，A对．车的加速度a＝＝ m/s2，B错．从O到P用时t′＝＝3 s，P、O间距离s1＝·t′＝7.5 m，C对．O到Q用时t′＋t＝3 s＋6 s＝9 s，D对．
3．(对Δs＝aT2的理解和应用)从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个后，对在斜面上滚动的小球拍下如图4所示的照片，测得sAB＝15 cm，sBC＝20 cm.试问：

图4
(1)小球的加速度是多少？
(2)拍摄时小球B的速度是多少？
(3)拍摄时sCD是多少？
答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m
解析　小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置．
(1)由推论Δs＝aT2可知，小球加速度为
a＝＝＝ m/s2
＝5 m/s2.
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝AC＝＝ m/s＝1.75 m/s.
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以
sCD－sBC＝sBC－sAB
所以sCD＝2sBC－sAB＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝25×10－2 m＝0.25 m.
题组一　速度与位移关系的理解与应用
1．关于公式s＝，下列说法正确的是(　　)
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀减速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的状况
D．此公式不行能毁灭a、s同时为负值的状况
答案　B
解析　公式s＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的状况，也适用于位移为负的状况，选项B正确，选项A、C错误．当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、s就会同时为负值，选项D错误．
2．物体先做初速度为零的匀加速运动，加速度大小为a1，当速度达到v时，改为以大小为a2的加速度做匀减速运动，直至速度为零．在加速和减速过程中物体的位移和所用时间分别为s1、t1和s2、t2，下列各式成立的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
答案　AC
解析　在加速运动阶段v2＝2a1s1，v＝a1t1；在减速运动阶段0－v2＝2(－a2)s2,0－v＝－a2t2.由以上几式可得＝，＝，进一步可得＝，选项A、C正确．
3．如图1所示，一小滑块从斜面顶端A由静止开头沿斜面对下做匀加速直线运动到达底端C，已知AB＝BC，则下列说法正确的是(　　)

图1
A．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶2
B．滑块到达B、C两点的速度之比为1∶4
C．滑块通过AB、BC两段的时间之比为1∶
D．滑块通过AB、BC两段的时间之比为(＋1)∶1
答案　D
解析　v＝2asAB，v＝2asAC，故vB∶vC＝∶＝1∶，A、B错；tAB∶tAC＝∶＝1∶，而tBC＝tAC－tAB，故滑块通过AB、BC两段的时间之比tAB∶tBC＝1∶(－1)＝(＋1)∶1，C错，D对．
题组二　＝v＝的机敏运用
4．一颗子弹以大小为v的速度射进一墙壁但未穿出，射入深度为s，假如子弹在墙内穿行时做匀变速直线运动，则子弹在墙内运动的时间为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由＝和s＝ t得t＝，B选项正确．
5．一物体从斜面上某点由静止开头做匀加速直线运动，经过3 s 后到达斜面底端，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9 s停止，则物体在斜面上的位移与在水平面上的位移之比是(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1
答案　C
解析　设物体到达斜面底端时的速度为vt，
在斜面上的平均速度1＝，
在斜面上的位移s1＝1t1＝t1
在水平地面上的平均速度2＝，
在水平地面上的位移s2＝2t2＝t2
所以s1∶s2＝t1∶t2＝1∶3.故选C.
6．一个做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点的速度分别是v和7v，经过AB的时间是t，则下列推断中正确的是(　　)
A．经过AB中点的速度是4v
B．经过AB中间时刻的速度是4v
C．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt
D．前位移所需时间是后位移所需时间的2倍
答案　BCD
解析　平均速度AB＝＝4v，即中间时刻的瞬时速度为4v，B对；中点位移处的速度v＝ ＝5v，A错；由Δs＝a()2和7v＝v＋at，可以推断C对；由＝t1和＝t2得t1＝2t2，D对．
7．某物体做直线运动，物体的速度—时间图像如图2所示．若初速度的大小为v0，末速度的大小为v1，则在时间t1内物体的平均速度(　　)

图2
A．等于(v0＋v1)
B．小于(v0＋v1)
C．大于(v0＋v1)
D．条件不足，无法比较
答案　C
解析　假如物体在0～t1时间内做匀变速直线运动，则有′＝，这段时间内发生的位移大小为阴影部分的面积，如图所示，则s1＝′t1，而阴影部分面积的大小s1小于速度—时间图像与t轴包围的面积大小s2，s2＝ t1，则>′＝，故选项C正确．

题组三　Δs＝aT2的理解与应用
8．一小球沿斜面以恒定的加速度滚下并依次通过A、B、C三点，已知AB＝6 m，BC＝10 m，小球通过AB、BC所用的时间均为2 s，则小球经过A、B、C三点时的速度分别为(　　)
A．2 m/s,3 m/s,4 m/s B．2 m/s,4 m/s,6 m/s
C．3 m/s,4 m/s,5 m/s D．3 m/s,5 m/s,7 m/s
答案　B
解析　B－A＝aT2，a＝ m/s2＝1 m/s2
vB＝＝ m/s＝4 m/s
由vB＝vA＋aT，得vA＝vB－aT＝(4－1×2) m/s＝2 m/s，vC＝vB＋aT＝(4＋1×2) m/s＝6 m/s，B正确．
9．一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法中正确的是(　　)
A．这2 s内平均速度是2.25 m/s
B．第3 s末瞬时速度是2.25 m/s
C．质点的加速度是0.125 m/s2
D．质点的加速度是0.5 m/s2
答案　ABD
解析　这2 s内的平均速度＝＝ m/s＝2.25 m/s，A对；第3 s末的瞬时速度等于2 s～4 s内的平均速度，B对；质点的加速度a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，C错，D对．
10.某次试验得到的一段纸带如图3所示(电源频率为50 Hz)，若以每五次打点的时间作为时间单位，得到图示的5个计数点，各点到标号为0的计数点的距离已量出，分别是4 cm、10 cm、18 cm、28 cm，则小车的运动性质是____________，当打点计时器打第1点时速度v1＝________ m/s，加速度a＝________ m/s2.

图3
答案　匀加速直线运动　0.5　2
解析　0～1、1～2、2～3、3～4间距：s1＝4 cm，s2＝6 cm，s3＝8 cm，s4＝10 cm，连续相等相间内的位移之差： Δs1＝s2－s1＝2 cm，Δs2＝s3－s2＝2 cm，Δs3＝s4－s3＝2 cm，所以在连续相等时间内的位移之差为常数，故小车做匀加速直线运动．
依据某段时间内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，有v1＝ m/s＝0.5 m/s.由Δs＝aT2得a＝＝ m/s2＝2 m/s2.
题组四　综合应用
11．假设飞机着陆后做匀减速直线运动，经10 s速度减为着陆时的一半，滑行了450 m，则飞机着陆时的速度为多大？着陆后30 s滑行的距离是多少？
答案　60 m/s　600 m
解析　设飞机着陆时的速度为v0，减速10 s，滑行距离s1＝t，解得v0＝60 m/s
飞机着陆后做匀减速运动的加速度大小为a＝＝3 m/s2
飞机停止运动所用时间为t0＝＝20 s，由v－v＝2(－a)s′，得着陆后30 s滑行的距离是s′＝＝ m＝600 m
12．一列火车进站前先关闭气阀，让车减速滑行．滑行了300 m时速度减为关闭气阀时的一半，此后又连续滑行了20 s停在车站．设火车在滑行过程中加速度始终维持不变，试求：
(1)火车滑行的加速度；
(2)火车关闭气阀时的速度；
(3)从火车关闭气阀到停止滑行时，滑行的总位移．
答案　(1)－0.5 m/s2　(2)20 m/s　(3)400 m
解析　设火车初速度为v0，s＝300 m
滑行前300 m的过程，有：()2－v＝2as
后20 s的过程有：0－＝at2
两式联立可得：v0＝20 m/s，a＝－0.5 m/s2
减速全程，由速度—位移公式有：2as总＝02－v
代入数据，解得s总＝400 m
13．为了平安，汽车过桥的速度不能太大．一辆汽车由静止动身做匀加速直线运动，用了10 s时间通过一座长120 m的桥，过桥后的速度是14 m/s.请计算：
(1)它刚开上桥头时的速度有多大？
(2)桥头与动身点的距离多远？
答案　(1)10 m/s　(2)125 m
解析　(1)设汽车刚开上桥头的速度为v1
则有s＝t
v1＝－v2＝－14 m/s＝10 m/s
(2)汽车的加速度a＝＝ m/s2＝0.4 m/s2
桥头与动身点的距离s′＝＝ m＝125 m