江苏省沭阳银河学校2021届高三上学期开学初学情调研-数学-Word版含答案.docx

沭阳银河学校2021届高三开学初学情调研数学试卷 第卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1. 函数的最小正周期为，其中，则 .输入P开头结束输出nn1, S0S pnn + 1SS + 2nNY(第6题)2. 若复数是纯虚数，则实数= . 3. 若，则= . 4. 已知双曲线中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则其渐近线方程为 5假如数据，的方差是，若数据，的方差为9，则 .6. 执行右边的程序框图，若p80，则输出的n的值为 .7. 假如投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则的概率为 .8若是R上的增函数，且，设，若“”是“的充分不必要条件，则实数的取值范围是_.9正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于_cm3. 10. 若方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆，则的最小值为 11. 已知若关于的方程在（0，4）上有两个实数解，则的取值范围是 .12. 已知圆C过点，且与圆M:关于直线对称.若Q为圆C上的一个动点，则的最小值为 .13. 已知函数若函数在上存在唯一的极值点则实数的取值范围为 14. 已知函数 ，且，则 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知的三个内角所对的边分别为,向量，且.(1)求角A的大小；(2)若,求证：为等边三角形.16.（本小题满分14分）在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，E、F分别是的中点（1）证明：平面平面；（2）设P为线段BE上一点，且，求三棱锥的体积17.（本小题满分14分）设椭圆方程，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2（1）求椭圆方程；（2）若M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为，是否存在动点，若，有为定值18. (本小题满分16分) 某固定在墙上的广告金属支架如图所示，依据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，BCD=600 （1）若将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计的长，可使支架总长度最短_D_C_B_A19.（本小题满分16分）若数列的前项和为，且满足等式.（1）能否在数列中找到按原来挨次成等差数列的任意三项，说明理由；（2）能否从数列中依次抽取一个无穷多项的等比数列，且使它的全部项和满足，假如这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？（注：设等比数列的首项为，公比为，则它的全部项的和定义为）20.（本小题满分16分）已知函数，.（1）若函数有三个极值点，求的取值范围；（2）若依次在处取到极值，且，求的零点；（3）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，试求正整数的最大值.第卷（附加题，共40分）21选做题本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 A（选修：几何证明选讲）在中，过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D. 求证：B（选修：矩阵与变换）的顶点A（1，2），B（3，3），C（2，1），求在矩阵对应的变换下所得图形的面积 C（选修：坐标系与参数方程）已知直线和直线的交于点.（1）求P点的坐标；（2）求点与的距离.D（选修：不等式选讲）设是正数，证明：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD， EF / AB，BAF=90， AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度23数列满足，且，其中（1）求证：1；（2）求证：沭阳银河学校2021届高三开学初学情调研数学试卷参考答案第卷（必做题，共160分）一、填空题1. 6 ; 2. 1.将复数表示为的形式，然后由即可求；3. .，即. ，；4. .设焦点为，渐近线方程为，即所以所以即渐近线方程为; 5. 3.原数据的方差为，则新方差为，而已知新方差为9，所以; 6. 7 .依次产生的和值分别为所以，输出的值为7; 7. .由于抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本大事数为36种，又由知，所以，满足条件的大事有: (2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)共4种，则的概率为 ; 8. . ，由于函数是R上的增函数，所以，要使“”是“的充分不必要条件，则有，即；9. .由题意知，弧长为82，即围成圆锥形容器底面周长为2，所以圆锥底面半径为r，可得圆锥高h，所以容积Vr2h; 10. 4 .方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，有 ，即，化简得，又，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令，平移直线当过时，; 11. 可以转化为，记，则在（0，4）上有两个实数解，可以转化为函数与的图象，结合图像和特殊点可知; 12. 4.设圆心C，则，解得，则圆C的方程为，将点的坐标代入得，故圆C的方程为，设，则，且=，法一：令，则-2法二：令，则，所以-4，的最小值为 ; 13. .， 若函数在上存在唯一的极值点，则方程=0在区间上有唯一解.由于抛物线的对称轴为，函数在区间单调递减，所以；14. 2022. 为奇数时 为偶数 ， ， 为偶数时，为奇数， ， ， ， ，即.二、解答题15. (1)由，得 4分又由于，所以，解得或 6分 7分 (2)在中，且所以， 9分又，代入整理得，解得，于是， .13分即为等边三角形. .14分16（1）在，AC=2，BC=4,，.3分由已知，. 5分 又，即平面平面 7分（2）取的中点，连结，则且，由（1）， 10分，. 14分17. （1）由于，所以， -2分过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2由椭圆的对称性知，椭圆过点，即 -4分，解得 椭圆方程为 -7分（2）存在这样的点.设，则，化简为 -9分M，N是椭圆C上的点， 由得- -11分所以即存在这样的点 -14分18. （1）由则，设，则支架的总长度为，在中，由余弦定理化简得 即 4分记 由，则-6分（2）由题中条件得，即 设 则原式= 10分由基本不等式有且仅当 ，即时成立，又由 满足 ， 当时，金属支架总长度最短 16分19. （1）当时，则. 又，所以，两式相减得， 即 是首项为1，公比为的等比数列， 所以 -4分 假设存在三项按原来挨次成等差数列，记为 则，即，所以，即，即 又，所以 所以 假设不成立，所以不存在三项按原来挨次成等差数列 -8分 （2）设抽取的等比数列首项为，公比为，项数为，且则， -10分由于，所以， -12分所以由（1）得到，所以， -13分由（2）得到， -14分当时，适合条件，这时等比数列首项为，公比为当时，均不适合.当时，均不适合.综上可得满足题意的等比数列有只有一个. -16分20. （1）有3个极值点，有3个不同的根， -2分令，则，从而函数在，上递增，在上递减.有3个零点，. -4分（2）是的三个极值点-6分，或（舍）， 所以，的零点分别为，1，. -10分（3）不等式，等价于，即.转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.即不等式在上恒成立.即不等式在上恒成立. -12分设，则. 设，则.由于，有. 所以在区间上是减函数.又，故存在，使得.当时，有，当时，有.从而在区间上递增，在区间上递减.又，.所以，当时，恒有；当时，恒有. 故使命题成立的正整数的最大值为5. -16分第卷（附加题，共40分）21. A. 由，所以，所以所以所以所以由，所以 .10分B由，所以，A，B，C在矩阵变换下变为， 从而可得，可得S=6 10分C. （1）将代入得， 得， 5分（2）由， 得. 10分D. 3分 6分.当且仅当时等号成立. 10分22. （1）由于BAF=90，所以AFAB， 由于 平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF 平面ABCD= AB， 所以AF平面ABCD，由于四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系所以 ，所以 ，所以，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为 -5分 （2）由于AB平面ADF，所以平面APF的法向量为设P点坐标为，在平面APC中，所以 平面APC的法向量为， 所以， 解得，或（舍） 所以 -10分 23. （1）猜想：1，1kN1，kN*，接下来用数学归纳法对k进行证明：当k=1时，由， 得 =1 但 =1，成立 -2分假设k=m (1mN1，m)时， 则=0，1所以 所以k=m+1时结论也成立.综上 ，有，1kN1，k 故有 -5分（2）当N=2时，由且 得成立假设N=m (m2)时，存在，使得 -7分则当N=m1时，由归纳假设，存在k，使得，则= 所以=或=所以无论N取任何大于1的正整数，都存在k使得 -10