资源描述
[基础达标]
1．(2022·河北保定模拟)下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C．f(x)＝，g(x)＝|x|
D．f(x)＝0，g(x)＝＋
解析：选C．在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同．
2．已知函数f(x)＝，则f(f())的值是( )
A．9 B．
C．－9 D．－
解析：选B．f()＝log2＝log22－2＝－2，f(f())＝f(－2)＝3－2＝.
3．(2022·湖北荆门调研)设f：x→x2是集合M到集合N的映射，若N＝{1，2}，则M不行能是( )
A．{－1} B．{－，}
C．{1，，2} D．{－，－1，1，}
解析：选C．由映射的定义，集合M中的每一个元素在集合N中必需有唯一的元素与它对应，对选项C，22＝4∉N.
4．(2022·高考安徽卷)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：选C．对于选项A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于选项B，f(x)＝x－|x|＝当x≥0时，f(2x)＝0＝2f(x)，当x＜0时，f(2x)＝4x＝2·2x＝2f(x)，恒有f(2x)＝2f(x)；对于选项D，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)；对于选项C，f(2x)＝2x＋1＝2f(x)－1.
5．已知函数f(x)满足f()＝log2，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝log2x B．f(x)＝－log2x
C．f(x)＝2－x D．f(x)＝x－2
解析：选B．依据题意知x＞0，所以f()＝log2x，
则f(x)＝log2＝－log2x.
6．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________．
解析：由已知得得
∴f(x)＝x2－4x＋3.
∴f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.
答案：8
7．A＝{x|x是锐角}，B＝(0，1)，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素60°相对应的B中的元素是________；与B中元素相对应的A中的元素是________．
解析：∵cos 60°＝，∴与A中元素60°相对应的B中的元素是.
又∵cos 30°＝，∴与B中元素相对应的A中的元素是30°.
答案： 30°
8．(2022·湖北荆州市质量检测)若函数f(x)＝，则(1)＝________；
(2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2 014)＋f()＋f()＋…＋f()＝________．
解析：(1)∵f(x)＋f()＝＋＝0，
∴＝－1(x≠±1)，∴＝－1.
(2)∵f(3)＋f()＝0，f(4)＋f()＝0，…，f(2 014)＋f()＝0，
∴f(3)＋f(4)＋…＋f(2 014)＋f()＋…＋f()＝0.
答案：(1)－1 (2)0
9．(2022·上海徐汇一模)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x＞0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x＜0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝
10．设x≥0时，f(x)＝2；x＜0时，f(x)＝1，又规定：g(x)＝(x＞0)，试写出y＝g(x)的表达式，并画出其图象．
解：当0＜x＜1时，x－1＜0，x－2＜0，
∴g(x)＝＝1；
当1≤x＜2时，x－1≥0，x－2＜0，
∴g(x)＝＝；
当x≥2时，x－1＞0，x－2≥0，
∴g(x)＝＝2.
故g(x)＝
其图象如图
[力气提升]
1．依据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是( )
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
解析：选D．由于组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15，①
所以必有4＜A，且＝＝30.②
联立①②解得c＝60，A＝16.
2．(2022·河南洛阳模拟)具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．只有①
解析：选C．易知①满足条件，②不满足；对于③，易知
f＝满足f＝－f(x)，故③满足“倒负”变换．
3．已知f(x)＝则使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：∵f(x)≥－1，
∴或，
∴－4≤x≤0或0<x≤2，即－4≤x≤2.
答案：[－4，2]
4．设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx.其中属于集合M的函数是________．(写出全部满足要求的函数的序号)
解析：对于①，＝＋1明显无实数解；对于②，方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg 3，明显也无实数解；对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cos πx＋cos π，即cos πx＝，明显存在x使之成立．
答案：②④
5．如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能依据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
解：(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元．
6．(选做题)规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．
(1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)；
(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．
解：(1)∵x＝时，4x＝，
∴f1(x)＝＝1.
∵g(x)＝－＝.
∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3.
(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，
∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.
∴∴≤x＜.
故x的取值范围是.
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