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课时作业69 复数
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·全国)复数＝( )
A．2＋i B．2－i
C．1＋2i D．1－2i
解析：＝1＋2i，故选C.
答案：C
2．(2022·广东)设i为虚数单位，则复数＝( )
A．6＋5i B．6－5i
C．－6＋5i D．－6－5i
解析：＝＝＝－6－5i.
答案：D
3．(2021·福建理，1)已知复数z的共轭复数＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵＝1＋2i，∴z＝1－2i，对应点为(1，－2)在第四象限．
答案：D
4．(2021·广东理，3)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A. (2,4) B．(2，－4)
C. (4，－2) D．(4,2)
解析：iz＝2＋4i ∴z＝＝4－2i
即对应点坐标为(4，－2)．
答案：C
5．设i是虚数单位，则复数的虚部是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：＝＝－＋i，则其虚部为.
答案：B
6．(2022·郑州模拟)设i是虚数单位，若复数为实数，则实数a为( )
A．2 B．－2
C．－ D.
解析：＝为实数，即a＝2.
答案：A
7.(2022·广州模拟)已知复数a＋bi＝i(1－i)(其中a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：∵a＋bi＝i(1－i)＝1＋i，∴a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
答案：D
8．设i是虚数单位，复数对应的点在( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由得＝，其对应的点在第一象限．故选A.
答案：A
二、填空题(每小题3分，共18分)
9．设i为虚数单位，则(1＋i)5的虚部为________．
解析：由于(1＋i)5＝(1＋i)4(1＋i)＝(2i)2(1＋i)＝－4(1＋i)＝－4－4i，所以它的虚部为－4.
答案：－4
10．(2022·青岛一模)已知复数z满足(2－i)z＝1＋i，i为虚数单位，则复数z＝________.
解析：∵(2－i)z＝1＋i，∴z＝＝＝＝＋i.
答案：＋i
11．(2022·重庆)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.
解析：∵(1＋i)(2＋i)＝a＋bi⇒1＋3i＝a＋bi，∴⇒a＋b＝4.
答案：4
12．(2022·湖南)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
解析：∵z＝(3＋i)2＝8＋6i，∴|z|＝＝10.
答案：10
13．(2021·江苏，2)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
解析：由z＝(2－i)2＝3－4i，∴|z|＝＝5.
答案：5
14．(2021·重庆理，11)已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.
解析：依题意，z＝＝＝i(1－2i)＝2＋i，所以|z|＝.
答案：
三、解答题(共3小题，15题12分，16题15分，17题15分，共42分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：由(z1－2)(1＋i)＝1－i，
得z1－2＝＝－i，
∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，
∴z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R.
∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
16．(2022·安徽模拟)设复数z＝－3cosθ＋2isinθ.
(1)当θ＝π时，求|z|的值；
(2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，求的值．
解：(1)∵θ＝π，
∴z＝－3cosπ＋2isinπ＝－ i，
∴|z|＝＝.
(2)由条件得－3cosθ＋3×2sinθ＝0，∴tanθ＝，
原式＝＝＝.
17．已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.
(1)若z1＋z2＝1＋i，求＋.
(2)若z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，求a，b.
解：(1)∵＝(a,1)－(1,2)＝(a－1，－1)，
＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b－3)，
∴z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i，
∴z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，
又z1＋z2＝1＋i，∴，∴，
∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i，
∴＋＝＋
＝＋
＝＋＝－＋i.
(2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i，
∵z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，
∴，∴.
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