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高一数学暑假作业十（数列复习题）
一．填空题
1．在等比数列中，若，，则的值为_____________。
2．在正整数100至500之间能被11整除的个数为 .
3．在数列{an}中，a1=1，an+1=an2－1（n≥1），则a1+a2+a3+a4+a5等于 。
4．{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则a3+a6+a9= 。
5．正项等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则S4= 。
6．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗n次后，存在的污垢在1%以下，则n的最小值为_________．
7．设an=－n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大是第 项。
8．设函数f（x）满足f（n+1）=（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）= 。
9．某大楼有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层到20层，每层一人，而电梯只允许停一次，可只使一人满足，其余18人都要上楼或下楼。假设乘客每向下走一层不满足度为1，每向上走一层不满足度为2。全部人不满足之和为S，为使S最小，电梯应停在第 层。
10．等比数列{an}，an>0，q≠1，且a2、a3、a1成等差数列，则= 。
11．已知an=（n∈N*），则数列{an}的最大项为_______．
12．在数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1=Sn(n≥1),则an= 。
13．将给定的25个数排成如图所示的数表， 若每行5个数按从左至右的挨次构成等差数列，每列的5个数按从上到下的挨次也构成等差数列，且表正中间一个数a33=1,则表中全部数之和为__________.
14．函数由下表定义：
若，，，则 ．
二．解答题
15．在数列中，，．
（1）求数列的前项和；（2）证明不等式，对任意皆成立。
16．已知等差数列{an}中，a2=8，前10项和S10=185．
（1）求通项an；
（2）若从数列{an}中依次取第2项、第4项、第8项…第2n项……按原来的挨次组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn．
17．数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an n∈N
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求sn;
（3）设bn＝ ( n∈N)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn( n∈N)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
18．商学院为推动后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的同学公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处接受收费还贷建行偿贷款形式（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．
（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；
（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，＝1.4774）
．
19．已知数列中，，（且）．
（Ⅰ）若数列为等差数列，求实数的值；
（Ⅱ）求数列的前项和．
高一数学暑假作业十（数列复习题）答案
答案
1.-3.提示：q4=,q2=.=-9×=-3.
2.36.提示：观看出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等差数列，公差为11，数an=110+（n－1）·11=11n+99，由an≤500，解得n≤36．
3．－1.提示：由已知：an+1=an2－1=（an+1）（an－1），
∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1．
4．33.提示：a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9成等差数列，故a3+a6+a9=2×39－45=33
5．28.提示：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得S4=28或－21（舍去）．
6.4.提示：每次能洗去污垢的，就是存留了，故洗n次后，还有原来的（）n，由题意，有：（）n<1%，∴4n>100得n的最小值为4．
7．第10项或11项.提示：由an=－n2+10n+11=－（n+1）（n－11），得a11=0，而a10>0，a12<0，S10=S11．
8.97.提示：f（n+1）－f（n）=
相加得f（20）－f（1）=（1+2+…+19）f（20）=95+f（1）=97．
9.14．提示：设停在第k层，不满足度为S=1+2+…+(k-2)+2(1+2+3+..+20-k) =
(3k2-85k+842),k=14时S最小。
10．. 提示：依题意：a3=a1+a2，则有a1q2=a1+a1q，∵a1>0，∴q2=1+qq=．
又∵an>0．∴q>0，∴q=，==
11.a8和a9．提示：设{an}中第n项最大，则有
即，∴8≤n≤9。即a8、a9最大．
12.提示：∵an+1=Sn,∴an=Sn-1(n≥2).
相减得,an+1-an=an,∴(n≥2)，
∵a2=S1=×1=,∴当n≥2时，an=·（）n-2.
13．25.提示:第一行的和为5a13,其次行的和为5a 23，…，第五行的和为5a53,故表中全部数之和为5(a13+a23+a33+a43+a53)=5×5a 33=25.
14．4.提示：令，则，令，则，
令，则，令，则，
令，则，令，则，
…，所以．
15．（1）数列的通项公式为
所以数列的前项和
（2）任意，
当时， ；
当且时，，∴，即
所以不等式，对任意皆成立
16.【解】（1）设{an}公差为d，有
解得a1=5，d=3
∴an=a1+（n－1）d=3n+2
（2）∵bn=a=3×2n+2
∴Tn=b1+b2+…+bn=（3×21+2）+（3×22+2）+…+（3×2n+2）=3（21+22+…+2n）+2n=6×2n+2n－6．
17.解：（1）由an＋2＝2an＋1－anÞ
an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝＝－2
－∴an＝10－2n
（2）由an＝10－2n≥0得n≤5
∴当n≤5时，Sn＝－n2＋9n
当n>5时，Sn＝n2－9n＋40
故Sn＝ （n∈N）
（3）bn＝＝＝()
∴Tn＝ b1＋b2＋…＋bn
＝[(1－)＋(－)＋(－)＋……＋(－)]＝(1－)＝
＞＞Tn－1＞Tn－2＞……＞T1.
∴要使Tn>总成立，需<T1＝恒成立，即m<8，（m∈Z）。故适合条件的m的最大值为7．
18.（1）设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．
依题意有 …．化简得．∴ ．两边取对数整理得．∴ 取n＝12（年）．∴ 到2022年底可全部还清贷款．
（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，
依题意有…．
化简得．
∴ （元）
故每生每年的最低收费标准为992元
19.解：（Ⅰ）由于（且），所以
．
明显，当且仅当，即时，数列为等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：数列是首项为，公差为1的等差数列，
故有，即（）．
因此，有，
，
两式相减，得 ， 整理，得（）．
………16
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