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课时提升作业(十一)
一、选择题
1.(2021·潮州模拟)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是 ( )
(A)(-2,-1) (B)(-1,0)
(C)(0,1) (D)(1,2)
2.(2021·湛江模拟)利用计算器,列出自变量和函数值的对应值如下表:
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y=2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y=x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x=x2的一个根位于下列区间的 ( )
(A)(0.6,1.0) (B)(1.4,1.8)
(C)(1.8,2.2) (D)(2.6,3.0)
3.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx的零点分别为x1,x2,则x1,x2的大小关系是
( )
(A)x1<x2 (B)x1>x2
(C)x1=x2 (D)不能确定
4.函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为 ( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
5.(2021·合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为 ( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
6.设x1,x2是方程ln|x-2|=m(m为实常数)的两根,则x1+x2的值为 ( )
(A)4 (B)2
(C)-4 (D)与m有关
7.(力气挑战题)已知函数f(x)=()x-log2x,实数a,b,c满足f(a)·f(b)·f(c)<0
(0<a<b<c),若实数x0为方程f(x)=0的一个解,那么下列不等式中,不行能成立的是 ( )
(A)x0<a (B)x0>b (C)x0<c (D)x0>c
8.若函数y=()|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是 ( )
(A)m≤-1 (B)m≥1
(C)-1≤m<0 (D)0<m≤1
9.(2021·温州模拟)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-1)⊗(x-x2),x∈R.若函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点,则实数c的取值范围是
( )
(A)(-∞,-1)∪(-,0)
(B){-1,-}
(C)(-1,-)
(D)(-∞,-1)∪[-,0)
10.(力气挑战题)已知函数f(x)=2x-lox,实数a,b,c满足a<b<c,且满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列结论确定成立的是
( )
(A)x0>c (B)x0<c (C)x0>a (D)x0<a
二、填空题
11.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
12.已知函数f(x)=3x+x-5的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b= .
13.若函数f(x)=(m-1)x2+2(m+1)x-1有且仅有一个零点,则实数m的取值集合是 .
14.(力气挑战题)若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数为 .
三、解答题
15.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.
(1)推断命题“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出推断过程.
(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,求实数a的范围.
答案解析
1.【解析】选C.由于f(0)=e0-2=-1<0,f(1)=e-1>0,所以f(0)·f(1)<0,因此f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是(0,1).
2.【解析】选C.令f(x)=2x-x2,则由表格知f(0.6)=1.516-0.36>0,f(1.0)=
2.0-1.0>0,f(1.4)=2.639-1.96>0,f(1.8)=3.482-3.24>0,f(2.2)=4.595-4.84<0,故f(1.8)·f(2.2)<0,因此函数f(x)=2x-x2的零点所在区间是(1.8,2.2),即方程2x=x2的一个根位于区间(1.8,2.2).
3.【解析】选A.在同一坐标系中作函数y=-x,y=2x,y=lnx的图象如图所示,由图象知x1<x2.
4.【思路点拨】本题可转化为求函数y=|x-2|和y=lnx图象的交点个数.
【解析】选C.在同始终角坐标系中,作出函数y=|x-2|与y=lnx的图象如图,从图中可知,两函数共有2个交点,∴函数f(x)的零点的个数为2.
5.【解析】选C.令f(x)=0,则sgn(lnx)-lnx=0,即
sgn(lnx)=lnx,∴lnx=1或lnx=0或lnx=-1,
∴x=e或x=1或x=.
6.【解析】选A.函数y=ln|x-2|的图象关于直线x=2对称,从而x1+x2=4.
7.【解析】选D.函数f(x)=()x-log2x在(0,+∞)上单调递减,由0<a<b<c得f(a)>f(b)>f(c).又f(a)·f(b)·f(c)<0,故f(a),f(b),f(c)的值有两种状况:
①两正一负,即f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,此时x0∈(b,c),故B,C成立;②三个均为负值,此时f(a)<0,又f(x0)=0,即f(a)<f(x0),得x0<a,故A成立.综上D不成立.
8.【解析】选C.由已知函数y=()|1-x|+m有零点,即方程()|1-x|+m=0有解,此时m=-()|1-x|.
∵|1-x|≥0,∴0<()|1-x|≤1,∴-1≤m<0.
9.【解析】选A.由x2-1≤x-x2得-≤x≤1,
∴f(x)=
函数f(x)的图象如图所示,
由图象知,当c<-1或-<c<0时,
函数y=f(x)-c恰有两个不同的零点.
10.【解析】选C.由于函数f(x)=2x-lox为增函数,故若a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,则有如下两种状况:①f(a)<f(b)<f(c)<0;②f(a)<0<f(b)<f(c),又x0是函数的一个零点,即f(x0)=0,故当f(a)<f(b)<f(c)<0=f(x0)时,由单调性可得x0>a,又当f(a)<0=f(x0)<f(b)<f(c)时,也有x0>a,故选C.
11.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数,两函数的图象如图所示,可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数图象有唯一交点,故a>1.
答案:(1,+∞)
12.【解析】由已知x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,
∴a,b的可能取值为a=1,b=2,或a=2,b=3,….
又f(1)=3+1-5=-1<0,f(2)=32+2-5=6>0,
∴f(1)f(2)<0,故a=1,b=2符合要求.
又∵f(x)为增函数,当x取大于或等于2的整数时,所对应的函数值都大于0,
∴a=1,b=2.∴a+b=1+2=3.
答案:3
13.【解析】当m=1时,f(x)=4x-1=0,得x=,符合要求.当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0.即m2+3m=0,解得m=-3或m=0,
∴m的取值集合是{-3,0,1}.
答案:{-3,0,1}
【误区警示】本题求解过程中易忽视m=1而失误.依据原式将f(x)误认为是二次函数.
14.【思路点拨】依据周期性画函数f(x)的图象,依据对称性画函数g(x)的图象,留意定义域.
【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知两函数在区间[-5,5]内有8个交点.
答案:8
15.【解析】(1)“对于任意的a∈R(R为实数集),方程f(x)=1必有实数根”是真命题.
依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,
∵Δ=(2a-1)2+8a=(2a+1)2≥0对于任意的a∈R(R为实数集)恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实数根,从而f(x)=1必有实数根.
(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及(0,)内各有一个零点,
只需即
解得<a<.
【变式备选】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.
【解析】∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,
即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0,
当Δ=0时,即m2-4=0,∴m=2或m=-2.
又m=-2时,t=1,
m=2时,t=-1(不合题意,舍去),
∴2x=1,x=0符合题意.
当Δ>0时,即m>2或m<-2时,
t2+mt+1=0有两正或两负根,
即f(x)有两个零点或没有零点,
∴这种状况不符合题意.
综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.
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