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第1讲 导数的概念及运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·沈阳模拟)曲线y＝x3在原点处的切线 ( )
A．不存在
B．有1条，其方程为y＝0
C．有1条，其方程为x＝0
D．有2条，它们的方程分别为y＝0，x＝0
解析 ∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0，∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0.
答案 B
2．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 ( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析 切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，
即y－1＝4(x－1)，整理得l的方程为4x－y－3＝0.
答案 A
3．(2022·长春模拟)曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为 ( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1
C．y＝3x＋1 D．y＝－2x－1
解析 依据导数运算法则可得y′＝ex＋xex＋2＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线斜率为y′|x＝0＝1＋2＝3.故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.
答案 A
4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 015(x)等于 ( )
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析 ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋
cos x，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2 015(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故选A．
答案 A
5．(2022·陕西卷)如图，修建一条大路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( )
A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x
解析 设三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则y′＝3ax2＋2bx＋c.由已知得y＝－x是函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d在点(0,0)处的切线，则
y′|x＝0＝－1⇒c＝－1，排解B、D．又∵y＝3x－6是该函数在点(2,0)处的切线，则y′|x＝2＝3⇒12a＋4b＋c＝3⇒12a＋4b－1＝3⇒3a＋b＝1.只有A项的函数符合，故选A．
答案 A
二、填空题
6．(2021·珠海一模)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析 y′＝2ax－，∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝.
答案
7．(2022·广东卷)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________________.
解析 由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
答案 5x＋y＋2＝0
8．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______.
解析 y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.由题意得解得则a＋b＝－3.
答案 －3
三、解答题
9．已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解 (1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x.
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是
解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为 ( )
A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0
C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0
解析 y′＝＝，由于ex＞0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≤－(当x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.故选A．
答案 A
12．(2022·大连二模)过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有 ( )
A．3条 B．2条
C．1条 D．0条
解析 由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x－3x0)，那么切线的斜率为k＝3x－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x－6x＋7＝0.令y＝2x－6x＋7，则y′＝6x－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝7＞0；x0＝2时，y＝－1＜0.结合函数y＝2x－6x＋7的单调性可得方程2x－6x＋7＝0有3个解．故过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有3条，故选A．
答案 A
13．(2022·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值为________.
解析 f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，
点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，
∴x1·x2·…·x2 015＝×××…××＝，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015＝log2 016(x1x2…x2 015)＝－1.
答案 －1
14．设抛物线C: y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解 (1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
①代入②得x＋x1＋4＝0.
∵P为切点，∴Δ＝2－16＝0得k＝或k＝.当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝时，x1＝2，y1＝1.
∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，
∴x2＝，y2＝－4.∴Q点的坐标为.
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