资源描述
第3讲 平面对量
考情解读 1.平面对量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面对量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的力气．
1．平面对量中的五个基本概念
(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.
(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．
(4)假如直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．
(5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．
2．平面对量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面对量基本定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3．平面对量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
4．平面对量的三共性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos θ＝＝.
热点一 平面对量的概念及线性运算
例1 (1)(2022·福建)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
(2)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是( )
A．(0,1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－1,0)
思维启迪 (1)依据平面对量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面对量的三点共线结论，将此结论与＝m＋n对应．
答案 (1)B (2)D
解析 (1)由题意知，A选项中e1＝0，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)．
(2)依题意，由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).
又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，
则＝－－(λ>1，μ>1)，
所以m＝－，n＝－.
故m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．故选D.
思维升华 对于平面对量的线性运算问题，要留意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要留意向量的起点和终点的确定，机敏利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
(1)(2022·陕西)设0<θ<，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，
则tan θ＝________.
(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.
答案 (1) (2)－
解析 (1)由于a∥b，
所以sin 2θ＝cos2θ，2sin θcos θ＝cos2θ.
由于0<θ<，所以cos θ>0，
得2sin θ＝cos θ，tan θ＝.
(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.
由于D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.
由于AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．
方法一 由于＝a，＝b，D为BC的中点，
所以＝(a＋b)．
所以＝＝(a＋b)．
所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋b)
＝a－b.
所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－.
方法二 易得EF＝MD，MD＝CF，
所以EF＝CF，所以CE＝CF.
由于＝＋＝－＋＝－b＋a，
所以＝(－b＋a)＝a－b.
所以x＝，y＝－，则x＋y＝－.
热点二 平面对量的数量积
例2 (1)如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
(2)(2021·重庆)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，则||的取值范围是( )
A. B.
C. D.
思维启迪 (1)图O的半径为1，可对题中向量进行转化＝＋，＝＋；
(2)利用||<，查找，的关系．
答案 (1)B (2)D
解析 (1)∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，
∴·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋·＝()2＋0－1＝－.
(2)∵⊥，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋2＝0，
∴·－·－·＝－2.
∵＝＋.
∴－＝－＋－，
∴＝＋－.
∵||＝||＝1，
∴2＝1＋1＋2＋2(·－·－·)
＝2＋2＋2(－2)＝2－2，
∵||<，∴0≤||2<，∴0≤2－2<，
∴<2≤2，即||∈.
思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．
(1)(2022·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
(2)已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是________．
答案 (1)22 (2)
解析 (1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.由于·＝2，所以(＋)·(－)＝2，即2－·－
2＝2.又由于2＝25，2＝64，所以·＝22.
(2)在△ABC中，延长AG交BC于D，∵点G是△ABC的重心，∴AD是BC边上的中线，且AG＝AD，∵·＝||×||×cos 120°＝－2，∴||×||＝4，∵＝，2＝＋，∴＝(＋)，
∴2＝[(＋)]2＝[2＋2·＋2]≥[2||×||＋2×(－2)]＝，∴2≥，∴||≥，∴||的最小值是.
热点三 平面对量与三角函数的综合
例3 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π.
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan 2α的值．
思维启迪 (1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值．
(2)由夹角公式及a⊥c可得关于角α的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果．
解 (1)∵b＝(cos x，sin x)，
c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，
∴f(x)＝b·c
＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α
＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．
令t＝sin x＋cos x，
则2sin xcos x＝t2－1，且－1<t<.
则y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<，
∴t＝－时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－，
即sin＝－，
∵<x<π，∴<x＋<π，
∴x＋＝π，∴x＝.
∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.
(2)∵a与b的夹角为，
∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．
∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝.
∵a⊥c，
∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，
∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0.
∴sin 2α＋cos 2α＝0，∴tan 2α＝－.
思维升华 在平面对量与三角函数的综合问题中，一方面用平面对量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的学问解决平面对量问题，在解决此类问题的过程中，只要依据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以依据向量或者三角函数的学问解决问题．
已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．
(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围．
解 (1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－.
∴cos2x－sin 2x＝＝＝.
(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋，
由正弦定理＝，可得sin A＝，∴A＝.
∴f(x)＋4cos＝sin－，
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]．
∴－1≤f(x)＋4cos(2A＋)≤－.
故所求范围为[－1，－]．
1．当向量以几何图形的形式毁灭时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要依据向量加减法的法则进行，特殊是减法法则很简洁出错，向量＝－ (其中O为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．
2．依据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b相互垂直．
3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面对量解决问题时要特殊留意两个向量夹角可能是0或π的状况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．
4．平面对量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中，在三角函数问题中平面对量的学问主要是给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数问题；解析几何中向量学问只是给出一些几何量的位置和数量关系，在解题中要擅长依据向量学问分析解析几何中的几何关系．
真题感悟
1．(2022·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
答案 ＋1
解析 设D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1知(x－3)2＋y2＝1，
即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．
又O＋＋
＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)
＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．
∵圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，
故的最大值为＋1.
2．(2022·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵＝＋λ，＝＋μ，
∴·＝(＋λ)·(＋μ)
＝·＋μ·＋λ·＋λμ·
＝2×2×(－)＋4μ＋4λ＋2×2×(－)λμ
＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1.
∴2(λ＋μ)－λμ＝.①
∵·＝(1－λ)·(1－μ)
＝(λμ－λ－μ＋1)·
＝2×2×(－)(λμ－λ－μ＋1)
＝－2[λμ－(λ＋μ)＋1]＝－，
∴λμ－(λ＋μ)＋1＝，
即λμ－(λ＋μ)＝－.②
由①②解得λ＋μ＝.
押题精练
1．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，P为AB边上的点，且＝λ，若·≥·，则λ的取值范围是( )
A．[，1] B．[，1]
C．[，] D．[，]
答案 B
解析 由于·＝(－)·＝·－·＝λ·－·＝2λ－1××cos ＝2λ－1，·＝－·＝－λ·(1－λ)＝2λ(λ－1)，由于·≥·，所以2λ－1≥2λ(λ－1)，解得≤λ≤，又由于P为AB边上的点，所以0≤λ≤1，所以≤λ≤1，故选B.
2．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·最小值是__________．
答案 －
解析 由于＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋()2.又由于∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴∠OBA＝60°.OB＝1.所以·＝||cos 120°＝－||.所以·＝－||＋||2＝(||－)2－≥－.故当且仅当||＝时，·最小值是－.
3．已知向量m＝(sin x，cos x)，n＝(，)，x∈R，函数f(x)＝m·n.
(1)求f(x)的最大值；
(2)在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B＝2A，且b＝2af(A－)，求角C的大小．
解 (1)f(x)＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，
所以f(x)的最大值为.
(2)由于b＝2af(A－)，由(1)和正弦定理，得sin B
＝2sin2A.
又B＝2A，所以sin 2A＝2sin2A，
即sin Acos A＝sin2A，
而A是三角形的内角，
所以sin A≠0，故cos A＝sin A，
tan A＝，
所以A＝，B＝2A＝，C＝π－A－B＝.
(推举时间：60分钟)
一、选择题
1．已知平面对量a＝(1，－2)，b＝(4，m)，且a⊥b，则向量5a－3b等于( )
A．(－7，－16) B．(－7，－34)
C．(－7，－4) D．(－7,14)
答案 A
解析 ∵a·b＝4－2m＝0，∴m＝2，
∴5a－3b＝(5，－10)－(12,6)＝(－7，－16)．
2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，点P在x轴上，·取最小值时P点坐标是( )
A．(－3,0) B．(1,0)
C．(2,0) D．(3,0)
答案 D
解析 依题意设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，所以·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时·取得最小值1.此时P点坐标为(3,0)．
3．已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝，则|a＋b|为( )
A．9 B．7
C．3 D.
答案 D
解析 |a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝5＋2×1×2×＝7，所以|a＋b|＝.
4．(2021·福建)在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2 C．5 D．10
答案 C
解析 ∵·＝0，
∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积S＝||||
＝××2＝5.
5．等腰直角三角形ABC中，A＝，AB＝AC＝2，M是BC的中点，P点在△ABC内部或其边界上运动，则·的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[1,2]
C．[－2，－1] D．[－2,0]
答案 D
解析 以点A为坐标原点，射线AB，AC分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(2,0)，M(1,1)．设P(x，y)，由于点P在△ABC内部或其边界上运动，故x≥0，y≥0且x＋y≤2，·＝(x－2，y)·(1,1)＝x－2＋y，所以·的取值范围是[－2,0]．
6．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 设AB的中点为D，
由5＝＋3，得3－3＝2－2，
即3＝2.
如图所示，故C，M，D三点共线，
且＝，
也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，
则△ABM与△ABC的面积比为.
二、填空题
7．在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，D在边BC上，BD＝，则·＝________.
答案
解析 ∵Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2，AC＝，
∴∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，∵BD＝，BC＝2，得到＝，∴＝，
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋，
∴·＝·(＋)＝·＋2＝0＋×12＝.
8．(2022·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．
答案 90°
解析 ∵＝(＋)，
∴点O是△ABC中边BC的中点，
∴BC为直径，依据圆的几何性质有〈，〉＝90°.
9．已知e1，e2为相互垂直的单位向量，若向量λe1＋e2与e1＋λe2的夹角等于60°，则实数λ＝________.
答案 2±
解析 由于e1，e2为相互垂直的单位向量，则不妨设e1，e2分别为直角坐标系中x，y轴的正方向的单位向量，则向量λe1＋e2与e1＋λe2的坐标为(λ，1)，(1，λ)，由于向量λe1＋e2与e1＋λe2的夹角等于60°，所以由向量数量积的定义可得cos 60°＝⇒＝⇒λ＝2±.
10．在△ABC中，sin A＝，·＝8，则△ABC的面积为( )
A．3 B．4
C．6 D.
答案 A
解析 ∵·＝||·||·cos A＝8>0，
∵||>0，||>0，∴cos A>0，
∴cos A＝＝ ＝，
∴||·||＝＝8×＝10，
∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sin A
＝×10×＝3，
即△ABC的面积为3.
三、解答题
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|＝2，设∠AOB＝θ，θ∈.
(1)用θ表示点B的坐标及|OA|；
(2)若tan θ＝－，求·的值．
解 (1)由题意，可得点B的坐标为(2cos θ，2sin θ)．
在△ABO中，|OB|＝2，∠BAO＝，∠B＝π－－θ＝－θ.
由正弦定理，得＝，
即|OA|＝2sin.
(2)由(1)，得·＝||·||·cos θ
＝4sincos θ.
由于tan θ＝－，θ∈，
所以sin θ＝，cos θ＝－.
又sin＝sin cos θ－cos sin θ
＝×－×＝，
故·＝4××＝－.
12．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m＝(cos B,2cos2－1)与向量n＝(2a－b，c)共线．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，S△ABC＝2，求a，b的值．
解 (1)∵m＝(cos B，cos C)，m∥n，
∴ccos B＝(2a－b)cos C，
∴sin Ccos B＝(2sin A－sin B)cos C，
sin A＝2sin Acos C，∴cos C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴a2＋b2－ab＝12，①
∵S△ABC＝absin C＝2，
∴ab＝8，②
由①②得或.
13．在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足＝.
(1)求|－|；
(2)存在实数t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝x·y，求k的最小值．
解 (1)由＝，且A，B，D三点共线，可知||＝||.
又AD＝5，所以DB＝11.
在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，
在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，
所以BC＝14.
所以|－|＝||＝14.
(2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14.
由余弦定理，得cos A＝＝.
由x＝＋t，y＝t＋，
知k＝x·y
＝(＋t)·(t＋)
＝t||2＋(t2＋1)·＋t||2
＝256t＋(t2＋1)×16×10×＋100t
＝80t2＋356t＋80.
由二次函数的图象，
可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t＝1时，k取得最小值516.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
