2021届高考数学(理科-广东)二轮专题复习配套word版训练：专题三-第3讲-平面向量.docx

第3讲平面对量考情解读1.平面对量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面对量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的力气1平面对量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)假如直线l的斜率为k，则a(1，k)是直线l的一个方向向量(5)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量b在向量a方向上的投影2平面对量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面对量基本定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底3平面对量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.4平面对量的三共性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .热点一平面对量的概念及线性运算例1(1)(2022福建)在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)(2)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若mn，则mn的取值范围是()A(0,1)B(1，)C(，1)D(1,0)思维启迪(1)依据平面对量基本定理解题(2)构造三点共线图形，得到平面对量的三点共线结论，将此结论与mn对应答案(1)B(2)D解析(1)由题意知，A选项中e10，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a(3,2)2e1e2)(2)依题意，由点D是圆O外一点，可设(1)，则(1).又C，O，D三点共线，令(1)，则(1，1)，所以m，n.故mn(1,0)故选D.思维升华对于平面对量的线性运算问题，要留意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆如向量的加法与减法要留意向量的起点和终点的确定，机敏利用三角形法则、平行四边形法则同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现(1)(2022陕西)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.(2)如图，在ABC中，AFAB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若a，b，且xayb，则xy_.答案(1)(2)解析(1)由于ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.由于00，得2sin cos ，tan .(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.由于D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF.由于AFAB，所以F为AM的中点，E为AD的中点方法一由于a，b，D为BC的中点，所以(ab)所以(ab)所以b(ab)ab.所以x，y，所以xy.方法二易得EFMD，MDCF，所以EFCF，所以CECF.由于ba，所以(ba)ab.所以x，y，则xy.热点二平面对量的数量积例2(1)如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则等于()A BC D(2)(2021重庆)在平面上，|1，.若|，则|的取值范围是()A. B.C. D.思维启迪(1)图O的半径为1，可对题中向量进行转化，；(2)利用|，查找，的关系答案(1)B(2)D解析(1)2，圆O的半径为1，|，()()2()()201.(2)，()()20，2.，.|1，21122()222(2)22，|，0|2，022，22，即|.思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算(1)(2022江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_(2)已知点G是ABC的重心，若A120，2，则|的最小值是_答案(1)22(2)解析(1)由3，得，.由于2，所以()()2，即222.又由于225，264，所以22.(2)在ABC中，延长AG交BC于D，点G是ABC的重心，AD是BC边上的中线，且AGAD，|cos 1202，|4，2，()，2()22222|2(2)，2，|，|的最小值是.热点三平面对量与三角函数的综合例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0x.(1)若，求函数f(x)bc的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且ac，求tan 2的值思维启迪(1)应用向量的数量积公式可得f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的x值(2)由夹角公式及ac可得关于角的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0x0，|0，|0，cos A0，cos A ，|810，SABC|AB|AC|sin A103，即ABC的面积为3.三、解答题11.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为，|OB|2，设AOB，.(1)用表示点B的坐标及|OA|；(2)若tan ，求的值解(1)由题意，可得点B的坐标为(2cos ，2sin )在ABO中，|OB|2，BAO，B.由正弦定理，得，即|OA|2sin.(2)由(1)，得|cos 4sincos .由于tan ，所以sin ，cos .又sinsin cos cos sin ，故4.12已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m(cos B,2cos21)与向量n(2ab，c)共线(1)求角C的大小；(2)若c2，SABC2，求a，b的值解(1)m(cos B，cos C)，mn，ccos B(2ab)cos C，sin Ccos B(2sin Asin B)cos C，sin A2sin Acos C，cos C，C(0，)，C.(2)c2a2b22abcos C，a2b2ab12，SABCabsin C2，ab8，由得或.13在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值解(1)由，且A，B，D三点共线，可知|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定理，得cos A.由xt，yt，知kxy(t)(t)t|2(t21)t|2256t(t21)1610100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当t1时，k取得最小值516.