高中数学(北师大版)必修三教案：3.2-概率的应用：“分赌金”问题.docx

概率的应用——“分赌金”问题
17世纪中时，法国数学家巴斯卡写信给当时号称数坛"怪杰"的费尔马，信中提到赌徒德梅尔，向他提出的一个"分赌金"问题。
有一天，德梅尔和赌友保罗赌钱，他们事先每人拿出6枚金币作赌金，用扔硬币作赌博手段，一局中若掷出正面，则德梅尔胜，否则保罗胜。商定谁先胜三局谁就能得到全部的12枚金币，已知他们在每局中取胜的可能性是相同的，竞赛开头后，保罗胜了一局，德梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博，后来他们也不再想连续这场还没有结局的赌博，于是一起商量 这12枚金币应如何分才公正合理。
保罗对德梅尔说："你胜了两局，我只胜了一局，因此你的金币应是我的两倍，你得总数的2/3即8枚金币，我得总数的1/3即4枚金币"。
"这不公正"精通赌博的德梅尔对此提出异议："我只要再胜一局就能得到全部金币，而你要得到全部金币还须再胜两局。即使你接下来胜一局，我们两人也是平分秋色，何况就这次我还有一半的机会获胜呢！所以我应得到全部赌金的3/4，即9枚金币，而你只能得到1/4即3枚金币"。
到底谁的分法对呢？当时可使两位数学家费了不少脑筋，历史上古典概率正是由争辩诸如此类的赌博玩耍中的问题引起的。现在我们一起来求解，明显，为确保能分出胜败，最多需要再赛两局，为简洁计，用"+"表示"德梅尔胜"，用"-"表示"保罗胜"，于是这两局的全部可能结果为：

其中使德梅尔获胜（即至少有一个"+"的情形）有3种，而使保罗获胜（至少有两个"-"的情形）有一种，故德梅尔获胜的概率为3/4，保罗胜的概率为1/4。这样，德梅尔应得全部赌金的3/4，而保罗则应得1/4。