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第2课时 圆的一般方程
1.在把握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,把握方程x2+y2 +Dx+Ey+F=0表示圆的条件,由圆的一般方程确定圆的圆心和半径.
2.能通过配方等手段将圆的一般方程化为圆的标准方程,会用待定系数法求圆的方程.
3.培育同学发觉问题、解决问题的力气.
重点:圆的一般方程的代数特征;一般方程与标准方程间的互化;依据已知条件确定方程中的系数D、E、F.
难点:点的轨迹方程的求法.
同学们,我们在上一节课学习了圆的定义和圆的标准方程,以及用待定系数法求圆的标准方程.我们把圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 ,开放后得到了x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,本节课我们就来学习下这个方程的特点.
问题1:对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可得 (x+)2+(y+)2= .
(1)当D2+E2-4F>0时,与圆的标准方程作比较,可看出方程表示以 (-,-) 为圆心, 为半径的圆;
(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一个解,x=-,y=-,它表示一个点(-,-);
(3)当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,它不表示任何图形.因此,当D2+E2-4F>0时,x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆,叫作 圆的一般方程 .
圆的一般方程的特点: x2和y2 的系数相同,没有xy这样的二次项,圆的一般方程中有三个待定系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就明确了;圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的一般方程也指出了 圆心 坐标与 半径 大小,几何特征明显.
问题2:设点M(x0,y0),依据圆的一般方程得到坐标平面内的点和圆的关系如下:(1)点在圆外⇔ ++Dx0 +Ey0 +F>0 ;(2)点在圆上⇔ ++Dx0 +Ey0 +F=0 ;(3)点在圆内⇔ + + Dx0+Ey0+F<0 .
问题3:用待定系数法求圆的一般方程的步骤是:
(1)设出圆的一般方程;(2)依据题意列出关于 D、E、F 的方程组;(3)解出D、E、F,代入一般方程.
问题4:求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)写出适合条件的 点M的集合 ;
(3)列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.
总结为:建系→设标→列式→化简→结果.
(1)有关圆的弦长的求法:已知直线的斜率为k,直线与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点C到直线的距离为d,圆的半径为r.
(法一)代数法:弦长|AB|=|x2-x1|=·;
(法二)几何法:弦长|AB|=2.
(2)有关弦的中点问题:
圆心与弦的中点连线和已知弦所在直线垂直,利用这条性质可确定某些等量关系.
1.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆的条件是( ).
A.<m<1 B.m>1
C.m< D.m<1
【解析】圆的方程条件为42+22-4×5m>0⇒m<1.
【答案】D
2.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分别为( ).
A.(3,0),8 B.(0,-3),8
C.(0,3),2 D.(3,0),2
【解析】方程可变形为:x2+(y-3)2=8.
【答案】C
3.圆的方程为x2+y2-8x=0,则圆心为 ,半径为 .
【答案】(4,0) 4
4.圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆C在点P处的切线斜率为1,试求圆C的方程.
【解析】设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则k、2为x2+Dx+F=0的两根,
∴k+2=-D,2k=F,
即D=-(k+2),F=2k.
又圆过点R(0,1),故1+E+F=0,∴E=-2k-1.
故所求圆的方程为x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,
圆心坐标为(,).
∵圆C在点P处的切线斜率为1,
∴kCP=-1=,∴k=-3.∴D=1,E=5,F=-6.
∴所求圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0.
圆的一般方程的概念辨析
若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的标准方程.
【方法指导】对于可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0形式的二元二次方程,仅当D2+E2-4F>0时,方程表示一个圆,半径长为.
【解析】 (法一)当a=0时,明显不符合题意,
当a≠0时,方程可写为x2+y2-x+y=0.
∴D=-,E=,F=0,由D2+E2-4F=(a2-2a+2)>0知,当a∈R且a≠0时原方程表示圆.
又半径r==2
=2,
∴当a=2时,rmin=,此时圆的方程为x2+y2-2x+2y=0.
(法二)原方程可化为[x-]2+(y+)2=.
∵a2-2a+2>0,∴当a≠0时,原方程表示圆.
又r===≥,
∴当a=2时,rmin=,∴半径最小的圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
【小结】解答此类问题要留意所给的方程是否为x2+y2+Dx+Ey+F=0这种形式,若不是,则要化成一般方程形式再求解.
求圆的一般方程
已知圆经过三点:A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),求圆的方程.
【方法指导】设出圆的一般方程,把A、B、C坐标代入方程,解方程组求出D、E、F的值.
【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)代入,得
⇒
故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0.
【小结】若已知圆上三点往往要利用待定系数法求解,即设出圆的一般方程,把点的坐标代入即可建立关于D、E、F的方程组.
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.
【方法指导】定义法,由等腰三角形的性质可得|CA|=|AB|为确定值,可利用圆的定义写出动点C的轨迹方程.
【解析】 设点C的坐标为(x,y),由题意得,|AC|=|AB|,即=,整理得(x-4)2+(y-2)2=10,即为点C的轨迹方程,所以点C的轨迹是圆.
[问题]点C的轨迹是完整的圆吗?
[结论]上述误会忽视了三角形三点不共线这一隐含条件.
于是,正确解答如下:
设点C的坐标为(x,y),由题意得,|AC|=|AB|,即=,整理得(x-4)2+(y-2)2=10,
由于A、B、C是三角形的三个顶点,三点不共线,而直线AB与圆的交点为(3,5)、(5,-1),所以点C的坐标不能为(3,5)、(5,-1),故点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)、(5,-1)),它的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但除去(3,5)、(5,-1)两点.
【小结】求曲线的轨迹方程时留意以下几点:(1)依据题目的条件选用适当的求轨迹的方法;(2)要看清是求轨迹还是求轨迹方程,轨迹是轨迹方程所表达的曲线;(3)验证轨迹上是否有应去掉或漏掉的点.
若曲线x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0关于直线y-x=0对称的曲线仍是其本身,求实数a的值.
【解析】 由题意知,圆心C(-,)在直线y-x=0上,∴+=0,∴a2=,∴a=±.(注:F=-4<0,不需检验D2+E2-4F>0)
圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1)、B(3,-1),求圆的一般方程.
【解析】 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得
解得D=E=-4,F=-2,故所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.
已知定点A(4,0),点P是圆x2+y2=4上一动点,点Q是AP的中点,求点Q的轨迹方程.
【解析】 设点Q的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),则即又点P在圆x2+y2=4上,所以+=4,即(2x-4)2+(2y)2=4,整理得(x-2)2+y2=1,即为点Q的轨迹方程.
1.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( ).
A.x+y-1=0 B.x+y+3=0
C.x-y+1=0 D.x-y+3=0
【解析】解题的突破口为弄清平分线的实质是过圆心的直线,即圆心符合直线方程.
圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心为(1,2),把点(1,2)代入A、B、C、D,不难得出选项C符合要求.
【答案】C
2.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为( ).
A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0
C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0
【解析】 设圆心C为(a,0),且a>0,则点C到直线3x+4y+4=0的距离为2,即=2⇒3a+4=±10⇒a=2或a=-(舍去),则圆C的方程为:(x-2)2+(y-0)2=22,即x2+y2-4x=0.
【答案】D
3.假如圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆面积最大时,圆心为 .
【解析】 将方程配方,得(x+)2+(y+1)2=-k2+1.
∴r2=1-k2≤1,rmax=1,此时k=0,且圆面积最大,
∴所求圆心为(0,-1).
【答案】(0,-1)
4.已知圆x2+y2=r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、B满足PA⊥PB,求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程.
【解析】设AB的中点为R,坐标为(x,y),欲求Q的轨迹方程,应先求R的轨迹方程.
在Rt△APB中,|AR|=|PR|.
又由于R是弦AB的中点,所以在Rt△OAR中,
|AR|2=|AO|2-|OR|2=r2-(x2+y2).
又|AR|=|PR|=,所以有(x-a)2+(y-b)2=r2-(x2+y2),即2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
因此,点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y),R(x1,y1),由于R是PQ的中点,所以x1=,y1=,
代入方程2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,
得2()2+2()2-2a×-2b×+a2+b2-r2=0.
整理得x2+y2=2r2-a2-b2,这就是所求的轨迹方程.
(2010年·上海卷)圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d= .
【解析】圆的标准方程为:(x-1)2+(y-2)2=1,圆心为(1,2),
即距离d==3.
【答案】3
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