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曲线运动 万有引力与航天
第Ⅰ卷 选择题，共48分
一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)
1.某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间，忽视空气阻力，取g＝10 m/s2.则球在墙面上反弹点的高度范围是( )
图4－1
A．0.8 m至1.8 m
B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m
D．1.0 m至1.8 m
解析：球落地时所用时间为t1＝＝0.4 s或t2＝＝0.6 s，所以反弹点的高度为h1＝gt＝0.8 m或h2＝gt＝1.8 m，故选A项．
答案：A
2．(多选题)[2021·四川资阳诊断]如图4－2所示，水平放置的两个用相同材料制成的轮P和Q靠摩擦传动，两轮的半径R∶r＝2∶1.当主动轮Q匀速转动时，在Q轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在Q轮边缘上，此时Q轮转动的角速度为ω1，木块的向心加速度为a1；若转变转速，把小木块放在P轮边缘也恰能静止，此时Q轮转动的角速度为ω2，木块的向心加速度为a2，则( )
图4－2
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：依据题述，a1＝ωr，ma1＝μmg；联立解得μg＝ωr.小木块放在P轮边缘也恰能静止，μg＝ω2R＝2ω2r.ωR＝ω2r，联立解得＝，选项A正确，B错误；木块在两轮边缘的向心加速度相等，均等于μg，选项C正确，D错误．
答案：AC
3．(多选题)如图4－3所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种状况与原来相比较，下面的推断中正确的是( )
图4－3
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的角速度变大
D．小球P运动的周期变大
解析：依据小球做圆周运动的特点，设绳与竖直方向的夹角为θ，故FT＝，对物体进行受力分析，由平衡条件f＝FTsinθ＝mgtanθ，FN＝FTcosθ＋Mg＝mg＋Mg，故在θ增大时，Q受到的支持力不变，静摩擦力变大，A选项错误，B选项正确；由mgtanθ＝mLsinθω2，得ω＝，故角速度变大，周期变小，故C选项正确，D选项错误．
图4－4
答案：BC
4．[2021·洛阳期中]如图4－5所示，一架在2 000 m高空以200 m/s的速度水平匀速飞行的轰炸机，要想用两枚炸弹分别炸山脚和山顶的目标A和B.已知山高720 m，山脚与山顶的水平距离为800 m，若不计空气阻力，g取10 m/s2，则投弹的时间间隔应为( )
图4－5
A．4 s B．5 s C．8 s D．16 s
解析：命中A的炸弹飞行时间t1＝ ＝20 s；命中B的炸弹飞行时间t2＝ ＝16 s；飞机飞行800 m需要时间4 s．投弹的时间间隔应为Δt＝t1－t2＋4 s＝8 s，选项C正确．
答案：C
5．质量m＝4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿x轴正方向的力F1＝8 N作用了2 s，然后撤去F1；再用沿y轴正方向的力F2＝24 N作用了1 s．则质点在这3 s内的轨迹为图4－6中的( )
A B
C D
图4－6
解析：质点在前2 s内做匀加速直线运动，2 s末的速度为v＝4 m/s；2～3 s做类平抛运动，加速度大小为6 m/s2，这1 s内沿x轴方向的位移是4 m，沿y轴方向的位移是3 m，故D正确．
答案：D
6．[2022·北京师范高校附中月考]如图4－7所示，内壁光滑的半球形容器固定放置，其圆形顶面水平．两个完全相同的小球a、b分别沿容器内壁，在不同的水平面内做匀速圆周运动．下列推断正确的是( )
图4－7
A．a对内壁的压力小于b对内壁的压力
B．a的周期小于b的周期
C．a的角速度小于b的角速度
D．a的向心加速度与b的向心加速度大小相等
解析：小球在半球形容器内做匀速圆周运动，圆心在水平面内，小球受到自身重力mg和内壁的弹力N(方向指向半球形的球心)，受力如图4－8，由几何关系可知N＝，设球体半径为R，则圆周运动的半径为Rsinθ，向心力F向＝mgtanθ＝mRsinθω2＝ma，得到角速度ω＝ ，向心加速度a＝gtanθ.小球a的弹力与竖直方向的夹角θ比小球b的大，所以a对内壁的压力大，A错．a的角速度大，故C错．由周期T＝得，a的周期小，B对．a的向心加速度大，D错．
图4－8
答案：B
7．[2022·陕西省西安市长安区一中模拟]如图4－9，地球赤道上山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v 3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )
图4－9
A．v1＞v2＞v 3 B．v1＜v3＜v 2
C．a1＞a2＞a3 D．a1＜a2＜a3
解析：由图可知，三者所做圆周运动的轨道半径关系为：r3>r2>r1，由于地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度，即ω3＝ω1，依据匀速圆周运动参量关系v＝rω和a＝vω有：v3>v1、a3>a1，故选项A、C错误；又由于地球近地卫星和地球同步卫星所做圆周运动的向心力均有地球对它们的万有引力供应，依据万有引力定律和牛顿其次定律有：G＝m＝ma，解得：v＝ 、a＝，因此有：v2>v3、a2>a3，所以：v2>v3>v1、a2>a3>a1，故选项D错误、选项B正确．
答案：B
8．[2022·河南省南阳市一中月考]2022年7月26日，一个国际争辩小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图4－10所示．此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质，达到质量转移的目的，假设在演化的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演化的过程中(两星体密度相当)
图4－10
A．它们做圆周运动的万有引力保持不变
B．它们做圆周运动的角速度不断变大
C．体积较大的星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大
D．体积较大的星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小
解析：设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积较大的星体质量为m2，轨道半径为r2，双星间的距离为L，转移的质量为Δm，则它们之间的万有引力为
F＝G，依据数学学问得知，随着Δm的增大，F先增大后减小，故A错误．
对双星系统中的m1：G＝(m1＋Δm)ω2r1
对m2：G＝(m2－Δm)ω2r2
解得ω＝ ，总质量m1＋m2不变，两者距离L不变，则角速度ω不变，故B错误．
ω2r2＝G，ω、L、m1均不变，Δm增大，则r2增大，即体积较大的星体圆周运动的轨迹半径变大．由v＝ωr2得线速度v也增大，故选项C正确、D错误．
答案：C
第Ⅱ卷 非选择题，共52分
二、试验题(本大题共2小题，共15分)
9．(6分)[2022·河南省南阳市一中月考]某同学为了测量人骑自行车行驶过程中的阻力系数k(人骑车时所受阻力f与总重力mg的比值)，他依次进行了以下操作：
A．找一段平直路面，并在路面上画一道起点线；
B．用较快的初速度骑车驶过起点线，并同时从车架上放下一团橡皮泥；
C．自行车驶过起点线后就停止蹬车，让其靠惯性沿直线行驶，登记自行车停下的位置；
D．用卷尺量出起点线到橡皮泥的距离s、起点线到终点的距离L及车架离地的高度h.
依据上述操作，回答下列问题：
(1)自行车驶过起点线时的速度大小为________．
(2)自行车在行驶中的阻力系数k＝____________(要求用测量得到的物理量来表示)．
解析：(1)设自行车初速度为v，橡皮泥做平抛运动，水平方向上：s＝v0t，竖直方向上：h＝gt2，解得：v0＝s.
(2)自行车做匀减速直线运动，由匀变速运动的速度位移公式可得：v＝2aL，解得：自行车的加速度大小a＝，自行车在减速过程中，受到的合力为阻力f，由牛顿其次定律得：f＝ma，阻力系数k＝，解得k＝.
答案：(1)s (2)
10．(9分)图4－11甲是利用激光测转速的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料．当盘转到某一位置时，接收器可以接收到反光涂层反射的激光束，并将所收到的光信号转变成电信号，在示波器显示屏上显示出来，如图4－11乙所示．
甲 乙
图4－11
(1)若图4－11乙中示波器显示屏横向的每大格(5小格)对应的时间为5.00×10－2 s，则圆盘的转速为__________转/s.(保留3位有效数字)
(2)若测得圆盘直径为10.20 cm，则可求得圆盘侧面反光涂层的长度为__________cm.(保留3位有效数字)
解析：本题主要考查圆周运动特点，意在考查考生图象分析力气及对圆周运动特点理解力气．由图象可知，两电信号脉冲时间间隔及圆盘转动的周期为T＝4.4×5.0×10－2s＝0.22 s，所以圆盘的转速为n＝＝≈4.55 转/s.由图象可知电脉冲持续时间为Δt＝0.01 s，圆盘涂层长度Δl＝vΔt＝·Δt＝×0.01 m＝1.46 cm.
答案：(1)4.55 (2)1.46
三、计算题(本大题共2小题，共37分)
11．(17分)[2022·北京师范高校附中月考]如图4－12所示是一辆箱式货车的后视图．该箱式货车在水平路面上做弯道训练．圆弧形弯道的半径为R＝8 m，车轮与路面间的动摩擦因数为μ＝0.8，滑动摩擦力等于最大静摩擦力．货车顶部用细线悬挂一个小球P，在悬点O处装有拉力传感器．车沿平直路面做匀速运动时，传感器的示数为F0＝4 N．取g＝10 m/s2.
图4－12
(1)该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，为了防止侧滑，车的最大速度vm是多大？
(2)该货车某次在此弯道上做匀速圆周运动，稳定后传感器的示数为F＝5 N，此时细线与竖直方向的夹角θ是多大？此时货车的速度v是多大？
解析：(1)车沿平直路面做匀速运动时，小球处于平衡状态，传感器的示数为F0＝mg＝4 N，解得m＝0.4 kg.
该货车在此圆弧形弯道上做匀速圆周运动时，地面对其摩擦力供应向心力，为了防止侧滑，向心力不能超过最大静摩擦力，即μmg≥，带入计算得v≤＝8 m/s.
图4－13
(2)小球受力如图4－13，一个重力mg＝4 N方向竖直向下，一个拉力F＝5 N，二者的合力沿水平方向供应向心力，依据几何关系得到＝＝3 N，带入计算得v＝ m/s＝2 m/s<8 m/s.所以没有侧滑，运动半径不变，分析正确．
tanθ＝/mg＝，解得θ＝37°.
答案：(1)8 m/s (2)37° 2 m/s
12．(20分)随着现代科学技术的飞速进展，广寒宫中的嫦娥不再孤独 ，古老的月球即将留下中华儿女的脚印 ．航天飞机将作为能来回于地球与太空、可以重复使用的太空飞行器，备受人们的宠爱．宇航员现欲乘航天飞机对在距月球表面高h处的圆轨道上运行的月球卫星进行修理．试依据你所学的学问回答下列问题：
(1)修理卫星时航天飞机的速度应为多大？
(2)已知地球自转周期为T0，则该卫星每天可绕月球转几圈？(已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为gm，计算过程中可不计地球引力的影响，计算结果用h、R、gm、T0等表示)
解析：(1)依据万有引力定律，在月球上的物体mgm＝①
卫星绕月球做圆周运动，设速度为v，则
G＝m②
联立①②式解得：v＝
航天飞机与卫星在同一轨道上，速度与卫星速度相同．
(2)设卫星运动周期为T，
则G＝m2(R＋h)
解得：T＝2π ＝2π
则卫星每天绕月球运转的圈数为＝ .
答案：(1)v＝ (2)
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