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第2课时 力的合成与分解
考纲解读 1.会用平行四边形定则、三角形定则进行力的合成与分解.2.会用正交分解法进行力的合成与分解．
考点一 共点力的合成
1．合成的方法
(1)作图法
(2)计算法：依据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，是解题的常用方法．
2．运算法则
(1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以用表示F1、F2的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线就表示合力的大小和方向，如图1甲所示．
(2)三角形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的线段首尾顺次相接地画出，把F1、F2的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图乙所示．
图1
3．重要结论
(1)两个分力确定时，夹角θ越大，合力越小．
(2)合力确定，两等大分力的夹角越大，两分力越大．
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力．
例1 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图2所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
图2
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求出合力大小
解析 依据三力的图示，知F1、F2在竖直方向分力的大小均为3个单位，方向相反，在水平方向的分力分别为6个单位和2个单位，方向与F3方向相同．依据正交分解法求合力的思想知，3个力的合力为12个单位，与F3的方向相同，大小是F3的3倍，即F合＝3F3.选项B正确．
答案 B
变式题组
1．[二力的合成](2021·上海·18)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2削减10 N，F确定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F不愿定增大
答案 AD
解析 F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，选项A正确．F1、F2同时增加10 N，F不愿定增加10 N，选项B错误．F1增加10 N，F2削减10 N，F可能变化，选项C错误．若F1、F2中的一个增大，F不愿定增大，选项D正确．
2．[三力的合成]三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围确定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，确定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，确定能使合力为零
答案 C
合力大小的范围
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.
②任取两个力，求出其合力的范围，假如第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，假如第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小力的和的确定值．
考点二 力分解的两种常用方法
1．力的效果分解法：
(1)依据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；
(2)再依据两个实际分力的方向画出平行四边形；
(3)最终由平行四边形和数学学问求出两分力的大小．
2．正交分解法
(1)定义：将已知力按相互垂直的两个方向进行分解的方法．
(2)建立坐标轴的原则：以少分解力和简洁分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)．
例2 如图3所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA＝10 kg，mB＝20 kg，A、B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.5.一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，现欲用外力将物体B匀速向右拉出，求所加水平力F的大小，并画出A、B的受力分析图．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图3
解析 A、B的受力分析如图所示．
对A应用平衡条件得
FTsin 37°＝Ff1＝μFN1①
FTcos 37°＋FN1＝mAg②
联立①、②两式可得：
FN1＝＝60 N
Ff1＝μFN1＝30 N
对B应用平衡条件得
F＝Ff1′＋Ff2＝Ff1′＋μFN2＝Ff1＋μ(FN1＋mBg)
＝2Ff1＋μmBg＝160 N.
答案 160 N 受力分析图见解析图
递进题组
3．[力的效果分解法]如图4所示，用拇指、食指捏住圆规的一个针脚，另一个有铅笔芯的脚支撑在手掌心位置，使OA水平，然后在外端挂上一些不太重的物品，这时针脚A、B对手指和手掌均有作用力，对这两个作用力方向的推断，下列各图中大致正确的是( )
图4
答案 C
4．[力的正交分解法]如图5所示，质量为M的正方形空木箱放置在粗糙水平面上，沿空木箱对角线有一光滑细轨道，轨道与水平方向间的夹角为45°.轨道上有一质量为m的物体沿轨道自由下滑，木箱始终静止在水平面上，求物体下滑的过程中：
图5
(1)轨道对物体的弹力的大小；
(2)地面对木箱的摩擦力的大小和方向．
答案 (1)mg (2)mg，方向水平向左
解析 (1)以物体为争辩对象，垂直轨道方向有FN＝mgcos 45°
解得轨道对物体的弹力的大小为
FN＝mg
(2)以木箱为争辩对象，受力如图所示．
由牛顿第三定律有FN′＝FN
在水平方向上有Ff＝FN′sin 45°
解得Ff＝mg，方向水平向左．
力的合成与分解方法的选择技巧
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法．一般状况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简洁，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相像求解；而物体受三个以上力的状况多用正交分解法，但也要视题目具体状况而定．
考点三 力的合成与分解方法在实际问题中的应用把力按实际效果分解的一般思路：
例3 某压榨机的结构示意图如图6所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，图中a＝0.5 m，b＝0.05 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为( )
图6
A．4 B．5
C．10 D．1
解析 按力F的作用效果沿AC、AB杆方向分解为图甲所示的F1、F2，则F1＝F2＝，由几何学问得tan θ＝＝10，再按F1的作用效果将F1沿水平向左和竖直向下分解为图乙所示的F3、F4，则F4＝F1sin θ，联立得F4＝5F，即物体D所受压力的大小与力F的比值为5，B对．
甲 乙
答案 B
递进题组
5．[实际问题分析]假期里，一位同学在厨房里挂念妈妈做菜，对菜刀发生了爱好．他发觉菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不一样，刀刃前部的顶角小，后部的顶角大，如图7所示，他先后作出过几个猜想，其中合理的是( )
图7
A．刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了打造便利，外形美观，跟使用功能无关
B．在刀背上加上同样的压力时，分开其他物体的力跟刀刃厚薄无关
C．在刀背上加上同样的压力时，顶角越大，分开其他物体的力越大
D．在刀背上加上同样的压力时，顶角越小，分开其他物体的力越大
答案 D
解析 把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角形劈，设顶角为2θ，背宽为d，侧面长为l，如图所示．当在刀背施加压力F后，产生垂直侧面的两个分力F1、F2，使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体．由对称性知，这两个分力大小相等(F1＝F2)，因此画出力分解的平行四边形，实为菱形，如图所示，在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑(图中阴影部分)．依据它跟半个劈的直角三角形的相像关系，有关系式＝＝，得F1＝F2＝.由此可见，刀背上加上确定的压力F时，侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关，顶角越小，sin θ的值越小，F1和F2的值越大，故D正确．
6．[实际问题分析]图8为庆祝新年时某教室里悬挂灯笼的一种方式，三段轻绳ac、cd、bd长度相等，a、b两点等高，c、d为结点且两点等高，三段轻绳的拉力大小分别为Fac、Fcd、Fbd，两灯笼受到的重力分别为Gc和Gd，下列表述正确的是( )
图8
A．Fac与Fbd大小确定相等
B．Fac确定小于Fcd
C．Gc和Gd确定相等
D．Fac与Fbd的大小之和等于Gc与Gd的大小之和
答案 AC
解析 依据题述的对称性，Fac与Fbd大小确定相等，Gc和Gd确定相等，选项A、C正确；因Fac>Gc，Fbd>Gd，故Fac与Fbd的大小之和确定大于Gc与Gd的大小之和，选项D错误；又Fac的水平分力与Fcd大小相等，故Fac确定大于Fcd，B错误．
高考模拟 明确考向
1．(2022·海南·5)如图9，一不行伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于O′点的固定光滑轴悬挂一质量为M的物体；OO′段水平，长度为L；绳上套一可沿绳滑动的轻环．现在轻环上悬挂一钩码，平衡后，物体上升L.则钩码的质量为( )
图9
A.M B.M
C.M D.M
答案 D
解析 假设平衡后轻环的位置为P，平衡后，物体上升L，说明此时POO′恰好构成一个边长为L的正三角形，绳中张力处处相等，均为Mg，故钩码的重力恰好与绳PO′段、PO段拉力的合力等大反向，由三角函数关系可知，钩码的重力为Mg，故其质量为M，选D.
2．(2021·重庆·1)如图10所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ.若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为( )
图10
A．G B．Gsin θ C．Gcos θ D．Gtan θ
答案 A
解析 椅子各部分对人的作用力的合力与重力G是平衡力，因此选项A正确．
3．(2022·上海·6)已知两个共点力的合力的大小为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N．则( )
A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向
答案 C
解析 由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：
当F2＝F20＝25 N时，F1的大小才是唯一的，F2的方向也是唯一的．因F2＝30 N>F20＝25 N，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，选项C正确．
4．风洞是进行空气动力学试验的一种重要设备．一次检验飞机性能的风洞试验示意图如图11所示，AB代表飞机模型的截面，OL是拉住飞机模型的绳．已知飞机模型重为G，当飞机模型静止在空中时，绳恰好水平，此时飞机模型截面与水平面的夹角为θ，则作用于飞机模型上的风力大小为( )
图11
A. B．Gcos θ
C. D．Gsin θ
答案 A
解析 作用于飞机模型上的风力F垂直于AB向上，风力F的竖直分力等于飞机模型的重力，即Fcos θ＝G，解得F＝，A正确．
练出高分
一、单项选择题
1．如图所示，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是( )
答案 C
2．有两个大小相等的共点力F1和F2，当它们的夹角为90°时，合力为F，当它们的夹角变为120°时，合力的大小为( )
A．2F B.F
C.F D.F
答案 B
解析 依据题意可得，F＝F1.当两个共点力F1和F2之间的夹角为120°时，合力F合＝F1＝F.
3．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图1所示的四种状况中(坐标纸中每格边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是( )
图1
A．甲图中物体所受的合外力大小等于4 N
B．乙图中物体所受的合外力大小等于2 N
C．丙图中物体所受的合外力大小等于0
D．丁图中物体所受的合外力大小等于0
答案 D
解析 题图甲，先将F1与F3直接合成，再以3 N和4 N为边画平行四边形，并结合勾股定理知合力的大小为5 N，A项错误；题图乙，先将F1与F3正交分解，再合成，求得合力的大小等于5 N，B项错误；题图丙，可将F3正交分解，求得合力的大小等于6 N，C项错误；依据三角形法则，题图丁中合力的大小等于0，D项正确．
4．两物体M、m用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，如图2所示，OA、OB与水平面的夹角分别为30°、60°，M、m均处于静止状态．则( )
图2
A．绳OA对M的拉力大于绳OB对M的拉力
B．绳OA对M的拉力等于绳OB对M的拉力
C．m受到水平面的静摩擦力大小为零
D．m受到水平面的静摩擦力的方向水平向左
答案 D
解析 取O点为争辩对象进行受力分析，如图，FTA<FTB，再对物体m进行受力分析知，m受水平面的静摩擦力的方向水平向左，D正确．
5．如图3所示(俯视图)，水平地面上处于伸直状态的轻绳一端拴在质量为m的物块上，另一端拴在固定于B点的木桩上．用弹簧测力计的光滑挂钩缓慢拉绳，弹簧测力计始终与地面平行，物块在水平拉力作用下缓慢滑动，当物块滑动至A位置、∠AOB＝120°时，弹簧测力计的示数为F，则( )
图3
A．物块与地面间的动摩擦因数为
B．木桩受到绳的拉力始终大于F
C．弹簧测力计的拉力保持不变
D．弹簧测力计的拉力始终减小
答案 A
解析 设轻绳中张力为FT，因物块缓慢移动，故FT＝μmg；在图示位置时FT＝F，所以物块与地面间的动摩擦因数μ＝，选项A对．当∠AOB大于120°时，木桩受到绳的拉力FT大于F，当物块滑至A位置时，因∠AOB等于120°，木桩受到绳的拉力FT等于F，选项B错．绳中拉力FT＝μmg不变，但∠AOB渐渐变小，故F渐渐增大，选项C、D均错．
6．如图4所示，A、B都是重物，A被绕过小滑轮P的细线悬挂着，B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽视，整个装置处于平衡静止状态．若悬挂小滑轮的斜线OP的张力大小是20 N，g取10 m/s2，则下列说法中错误的是( )
图4
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
答案 D
解析 O′a与aA两细线拉力的合力与OP线的张力大小相等．由几何学问可知FO′a＝FaA＝20 N，且斜线OP与竖直方向的夹角为30°，D错误；重物A的重力GA＝FaA ，所以mA＝2 kg，B正确；桌面对B的摩擦力Ff＝FO′b＝FO′acos 30°＝10 N，C正确；弹簧的弹力F弹＝FO′asin 30°＝10 N，故A正确．
二、多项选择题
7．一件行李重为G，被绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图5所示，则( )
图5
A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对绳OA的拉力方向与F1方向相反，大小相等
D．行李受到重力G、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2，还有F共四个力作用
答案 BC
解析 合力与分力具有等效替代的关系．所谓等效是指力F的作用效果与其分力F1、F2共同作用产生的效果相同．F1和F2的合力的作用效果是把行李提起来，而G的作用效果是使行李下落，另外产生的缘由(即性质)也不相同，故A错误；F1和F2的作用效果和F的作用效果相同，故B正确；行李对绳OA的拉力与绳OA拉行李的力F1是相互作用力，等大反向，不是一个力，故C正确；合力F是为争辩问题便利而假想出来的力，实际上不存在，应与实际受力区分开来，故D错误.
8．如图6所示，两相同物块分别放置在对接的两固定斜面上，物块处在同一水平面内，之间用细绳连接，在绳的中点加一竖直向上的拉力F，使两物块处于静止状态，此时绳与斜面间的夹角小于90°.当增大拉力F后，系统仍处于静止状态，下列说法正确的是( )
图6
A．绳受到的拉力变大
B．物块与斜面间的摩擦力变小
C．物块对斜面的压力变小
D．物块受到的合力不变
答案 ACD
解析 F增大，由于绳的夹角不变，故绳上的拉力增大，A正确；对物块进行受力分析，沿斜面方向：绳的拉力的重量与物块重力的重量之和等于静摩擦力，垂直斜面方向：物块重力的重量等于斜面对物块的支持力与绳的拉力的重量之和，由于绳上的拉力增大，故静摩擦力变大，支持力变小，B错误，C正确；物块仍处于平衡状态，所受合力仍为0，故D正确．
9．已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A. B. C. D.F
答案 AC
解析 依据题意作出矢量三角形如图，由于F>，从图上可以看出，F1有两个解，由直角三角形OAD可知：FOA＝ ＝F.由直角三角形ABD得：FBA＝ ＝F.由图的对称性可知：FAC＝FBA＝F，则分力F1＝F－F＝F；F1′＝F＋F＝F.
10．(2022·山东·17)如图7所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则( )
图7
A．Ff变小 B．Ff不变 C．FN变小 D．FN变大
答案 BD
甲
解析 选重物M及两个木块m组成的系统为争辩对象，系统受力状况如图甲所示，依据平衡条件有2Ff＝(M＋2m)g，即Ff＝，与两挡板间距离无关，故挡板间距离稍许增大后，Ff不变，所以选项A错误，选项B正确．如图乙所示，将绳的张力FT沿OO1、OO2两个方向分解为F1、F2，则F1＝F2＝，当挡板间距离稍许增大后，FT不变，θ变大，cos θ变小，故F1变大；选左边木块m为争辩对象，其受力状况如图丙所示，依据平衡条件得FN＝F1sin θ，当两挡板间距离稍许增大后，F1变大，θ变大，sin θ变大，因此FN变大，故选项C错误，选项D正确．
三、非选择题
11．如图8所示，两滑块放在光滑的水平面上，中间用一细线相连，轻杆OA、OB搁在滑块上，且可绕铰链O自由转动，两杆长度相等，夹角为θ，当竖直向下的力F作用在铰链上时，滑块间细线的张力为多大？
图8
答案 tan
解析 把竖直向下的力F沿两杆OA、OB方向分解，如图甲所示，可求出杆作用于滑块上斜向下的力为：
F1＝F2＝
斜向下的压力F1产生两个效果：竖直向下压滑块的力F1″和沿水平方向推滑块的力F1′，因此，将F1沿竖直方向和水平方向分解，如图乙所示，考虑到滑块不受摩擦力，细线上的张力等于F1在水平方向上的分力F1′，即：
F1′＝F1cos＝F1sin
解得：F1′＝tan
12．一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B(中心有孔)，A、B间由细绳连接着，它们处于如图9所示位置时恰好都能保持静止状态．此状况下，B球与环中心O处于同一水平面上，A、B间的细绳呈伸直状态，且与水平线成30°角．已知B球的质量为3 kg，求：
图9
(1)细绳对B球的拉力大小；
(2)A球的质量．(g取10 m/s2)
答案 (1)60 N (2)6 kg
解析 (1)对B球，受力分析如图所示．则有
FTsin 30°＝mg
得FT＝2mg＝60 N
(2)对A球，受力分析如图所示．
在水平方向：FT′cos 30°＝FNAsin 30°
由牛顿第三定律得
FT′= FT=60 N
FT′在竖直方向：FNAcos 30°＝mAg＋FTsin 30°
由以上方程解得：mA＝2m＝6 kg.
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