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高一数学暑假作业十四（平面的基本性质）
一、填空题
1．下列说法中正确的个数为________．
①过三点至少有一个平面；
②过四点不肯定有一个平面；
③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面．
2．①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线相互平分的四边形是平行四边形．
空间中，上述四个结论肯定成立的是________(填上全部你认为正确的命题的序号)．
3．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.
4．在四周体ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，假如EF∩GH＝P，则点P肯定在直线______上．
5．正方体各面所在的平面可将空间分成________个部分．
6．A、B、C、D为不共面的四点，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，
(1)假如EH∩FG＝P，那么点P在________上；
(2)假如EF∩GH＝Q，那么点Q在________上．
7．已知平面α、β，直线l，点A、B、C，它们满足：α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且C∉α，又直线AB∩l＝D，A、B、C三点确定的平面为γ，则平面β与平面γ的交线是________．
8．平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈β，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝_______.
9．在如图所示的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图是________(填序号)．
二、解答题
10．如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
11．已知A、B、C是平面α外不共线的三点，且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G，求证：E、F、G三点共线．
12．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1、BB1、CC1交于一点．
高一数学暑假作业十四（平面的基本性质）答案
一、填空题
1．下列说法中正确的个数为________．
①过三点至少有一个平面；
②过四点不肯定有一个平面；
③不在同一平面内的四点最多可确定4个平面．
解析：①正确，其中三点不共线时，有且仅有一个平面．三点共线时，有很多个平面；②正确，四点不肯定共面；③正确．
答案：3
2．①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线相互平分的四边形是平行四边形．
空间中，上述四个结论肯定成立的是________(填上全部你认为正确的命题的序号)．
解析：空间中，两组对边分别相等的四边形不肯定是平行四边形，如图所示．
答案：①②④
3．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.
解析：由于a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β，
又由于α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
4．在四周体ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，假如EF∩GH＝P，则点P肯定在直线______上．
解析：∵EF∩GH＝P，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.
又GH⊂平面ACD，∴P∈平面ACD.
∵平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.
答案：AC
5．正方体各面所在的平面可将空间分成________个部分．
解析：正方体的各个面所在平面将空间分成三层，且每层被分成9部分，故共分成27部分．
答案：27
6．A、B、C、D为不共面的四点，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，
(1)假如EH∩FG＝P，那么点P在________上；
(2)假如EF∩GH＝Q，那么点Q在________上．
解析：(1)如图，由AB、AD确定平面α.
∵E、H在AB、DA上，
∴E∈α，H∈α，
∴直线EH⊂α，
又∵EH∩FG＝P，
∴P∈EH，P∈α.
设BC、CD确定平面β，同理可证，P∈β，
∴P是平面α，β的公共点，
∵α∩β＝BD，∴点P在直线BD上．
同理可证(2)的结论．
答案：(1)BD所在的直线
(2)AC所在的直线
7．已知平面α、β，直线l，点A、B、C，它们满足：α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，且C∉α，又直线AB∩l＝D，A、B、C三点确定的平面为γ，则平面β与平面γ的交线是________．
解析：∵D∈l，l⊂β，∴D∈β，又C∈β，γ由A、B、C三点确定，∴AB⊂γ，C∈γ，又D∈AB，∴D∈γ，∴CD是β与γ的交线．
答案：直线CD
8．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈β，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，
∴C∈β，C∈AB，
∴AB∩β＝C.
答案：C
9．在如图所示的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图是________(填序号)．
解析：(1)图中PS∥QR，∴P、Q、R、S四点共面；
(3)图中SR∥PQ，∴P、Q、R、S四点共面．
答案：(1)(3)
二、解答题
10．如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
解：题图(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
题图(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.
11．已知A、B、C是平面α外不共线的三点，且AB、BC、CA分别与α交于点E、F、G，求证：E、F、G三点共线．
证明：如图，过A、B、C作一平面β，
则AB⊂β，AC⊂β，BC⊂β.
∴E∈β，F∈β，G∈β.
设α∩β＝l，∵AB、BC、CA分别与α相交于点E、F、G，
∴E∈α，F∈α，G∈α.
∴E、F、G必在α与β的交线上．
∴E、F、G三点共线．
12．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1、BB1、CC1交于一点．
证明：如图所示，∵A1B1∥AB，
∴A1B1与AB确定一平面α，
同理，B1C1与BC确定一平面β，C1A1与CA确定一平面γ.
易知β∩γ＝C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，
∴AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.
而AA1⊂γ，BB1⊂β，∴P∈γ，P∈β，
∴P在平面β与平面γ的交线上．
又β∩γ＝C1C，依据公理2知，P∈C1C，
∴AA1、BB1、CC1交于一点．
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