广东省七校联合体2022届高三第一次联考理科数学试题-Word含答案.docx

七校联合体2022届高三第一次联考试卷
理科数学

命题：普宁二中 陈左华 审题：潮阳一中 刘叶丛
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
1．已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
2．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．依据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的线性回归方程为＝x＋，则(　　)
A.>0，>0 B.>0，<0 C.<0，>0 D.<0，<0
4．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)

A． B． C． D．
　5．执行上边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝(　　)
A 3 B 4 C 5 D 6
6．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)
A. B. C. D.

7．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在区间上的最小值为(　　)
A．－　　　B．－　　　C．　　　D．
8．设函数在其定义域D上的导函数为，假如存在实数和函数，其中对任意的，都有，使得则称函数具有性质，给出下列四个函数：
①； ②；
③； ④
其中具有性质的函数为(　　)

A① ② ③ B① ② ④ C ② ③ ④ D① ③ ④
二、填空题：本题共6小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分
9．已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．
10．若偶函数的定义域为，则=
11．已知函数的反函数是且=______________
12．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，接受系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为
13．的开放式的常数项是
14．设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）
已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2＝sin B，b＝1．
(1)若A＝，求边c；
(2)若a＝2c，求△ABC的面积．

16.（本小题满分13分）
某企业聘请工作人员，设置、、三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、丁、戊五人参与聘请，其中甲、乙两人各自独立参与组测试，丙、丁两人各自独立参与组测试．已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为，丙、丁两人各自通过测试的概率均为．戊参与组测试，组共有6道试题，戊会其中4题.戊只能且必需选择4题作答，至少答对3题则竞聘成功.
（Ⅰ）求戊竞聘成功的概率；
（Ⅱ）求参与组测试通过的人数多于参与组测试通过的人数的概率；
（Ⅲ）记、组测试通过的总人数为，求的分布列和期望.

17．（本题满分13分）
如图, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，，
AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足为E，（I）求证：BD⊥A1C；（II）求二面角A 1－BD－C 1的大小；

18．（本题满分14分）
已知正项数列的前项和为，且 .
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）是否存在非零整数，使不等式
对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．（本小题满分14分）
如图所示，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
(1)求C1，C2的方程；(2)求证：MA⊥MB；
(3)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．

20．（本小题满分14分）
设函数f(x)＝ex－ax－2．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0恒成立，求k的最大值．
2022届七校高三摸底考答案 2021.8
一、选择题：1C 2D 3B 4A 5B 6D 7A　8 A
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分
(一)必做题(9～13题)
9．答案　21 10．答案：0 11答案2 12．答案　10
13答案3 14．答案： （答案格式不唯一）
三、解答题：
15．解：(1)由已知可得1＋cos B＝sin B…………2分

∴sin＝．…………3分 又0<B<π，∴B＝，∴C＝π－A－B＝，…………5分
∴c＝·sin C＝．…………6分
(2)由(1)知B＝，…………7分∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．…………8分
又a＝2c，∴c2＝，…………10分
∴△ABC的面积S＝acsin B＝．…………12分
16、解： (I) 设戊竞聘成功为A大事，则 …………1分
…………2分
（Ⅱ）设“参与组测试通过的人数多于参与组测试通过的人数”为B大事………3分
…………5分
（Ⅲ）可能取0，1，2，3，4 …………6分
…………7分
…………8分
…………9分
…………10分
…………11分

0
1
2
3
4
P

…………12分

∴ ……13分
17．解析：解法一：（I）在直四棱柱中,
底面
是在平面上的射影. , ……2分
……4分
（II）连结
与（I）同理可证 ……6分

为二面角的平面角. ……7分

……8分

又且 ……9分

……11分

在中, ……12分

即二面角的大小为 ……13分

解法二：（I）同解法一.（II）,以D为坐标原点,所
在直线分别为轴,轴,轴,建立空间 直角坐标系, ……5分

连结与（I）同理可证, ……7分

为二面角的平面角. ……8分

……9分

得 ……10分

……12分

二面角的大小为. ……13分

18解．（1）由.
当时，，解得或（舍去）． ……2分
当时，
由，……………4分
∵，∴，则，……………5分

∴是首项为2，公差为2的等差数列，故．……………6分

另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．

（2）由，得，……………7分

设，则不等式等价于.……………8分

，……10分
∵，∴，数列单调递增. ……………… 11分
假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则
① 当为奇数时，得； ……11分……………12分

② 当为偶数时，得，即. ……13分
综上，，由是非零整数，知存在满足条件．…… 14分

19 (1)解　由题意，知＝，所以a2＝2b2. ……1分

又2＝2b，得b＝1. ……2分

所以曲线C2的方程：y＝x2－1，椭圆C1的方程：＋y2＝1. ……3分

(2)证明　设直线AB：y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意，知M(0，－1)．
则⇒x2－kx－1＝0， ……4分

解得x1＝， x2＝，……5分

则x1·x2＝－1，x1＋x2＝k，
·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝－(1＋k2)＋k2＋1＝0，
所以MA⊥MB. ……7分

(3)解　设直线MA的方程：y＝k1x－1，直线MB的方程：y＝k2x－1，……8分

由(2)知k1k2＝－1，M(0，－1)，
由解得或 ……9分
所以A(k1，k－1)．
同理，可得B(k2，k－1)．……10分

故S1＝|MA|·|MB|＝·|k1||k2|.
由解得或
所以D(，)．
同理，可得E(，)．……11分

故S2＝|MD|·|ME|
＝·，
＝λ＝＝≥，……13分
则λ的取值范围是[，＋∞)．……14分
20解： (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a．……1分
当a≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增；
……………………………………3分

当a＞0时，若x∈(－∞，ln a)，则f′(x)＜0，若x∈(ln a，＋∞)，则f′(x)＞0，
所以f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增．
……………………………………5分

综上可知，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)
……………………………………6分
(2)由于a＝1，
所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1．
设g(x)＝(x－k)(ex－1)＋x＋1，则g′(x)＝ex(x－k＋1)．
……………………………………7分
(i)若k≤1，则当x＞0时，g′(x)＞0，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝1，
故当x＞0时，g(x)＞1＞0，即有(x－k)f′(x)＋x＋1＞0恒成立．
……………………………………9分
(ii)若k＞1，则当x∈(0，k－1)时，g′(x)＜0；当x∈(k－1，＋∞)时，g′(x)＞0．
所以g(x)在区间(0，＋∞)内的最小值为g(k－1)＝k－ek－1＋1．
……………………………………11分
令h(k)＝k－ek－1＋1，则h′(k)＝1－ek－1，由于k>1，所以h′(k)<0，故h(k)在区间(1，＋∞)上单调递减．而h(2)＞0，h(3)＜0，所以当1＜k≤2时，h(k)＞0，即g(k－1)＞0，从而当x＞0时，g(x)＞0，即(x－k)f′(x)＋x＋1＞0恒成立；当k≥3时，h(k)<0，即g(k－1)<0，故g(x)＞0在区间(0，＋∞)内不恒成立．
……………………………………13分
综上所述，整数k的最大值为2……………………………………14分