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第三章 §5 第2课时
一、选择题
1．假如x<y<0，那么( )
A．y<x<1 B．x<y<1
C．1<x<y D．1<y<x
[答案] D
[解析] 由于y＝x为(0，＋∞)上的减函数，所以x>y>1.
2．(2021·南安高一检测)已知y＝4x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝，则x0的值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D.
[答案] C
[解析] ∵y＝4x的反函数f(x)＝log4x，
又f(x0)＝，∴log4x0＝.
∴x0＝2.
3．下列不等式成立的是( )
A．log32<log23<log25 B．log32<log25<log23
C．log23<log32<log25 D．log23<log25<log32
[答案] A
[解析] ∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log25>log23>log22＝1.
又y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，
∴log32<log33＝1.
∴log32<log23<log25.
4．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是( )
[分析] 可利用函数的性质识别图像，特殊留意底数a对图像的影响，也可从图像的位置结合单调性来判定．
[答案] B
[解析] 解法1：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排解A、C.
其次，从单调性着眼．y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排解D.
∴应选B.
解法2：若0<a<1，则曲线y＝ax下降且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)上升且过点(－1,0)，全部选项均不符合这些条件．
若a>1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．
解法3：假如留意到y＝loga(－x)的图像关于y轴的对称图像为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图像关于直线y＝x对称)，则可直接选定B.
5．(2022·天津高考)设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
[答案] C
[解析] ∵a＝log2π>1，b＝π<0，c＝π－2＝∈(0,1)，∴a>c>b.
6．y＝(x2＋2x－3)的递增区间为( )
A．(1，＋∞) B．(－3,1)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－3)
[答案] A
[解析] 由x2＋2x－3>0得x<－3或x>1，
设μ＝x2＋2x－3则y＝μ；
μ＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
当x∈(－∞，－3)时，μ＝x2＋2x－3是减函数，
当x∈(1，＋∞)时，μ＝x2＋2x－3是增函数，
又y＝μ在(0，＋∞)上为增函数，
∴y＝(x2＋2x－3)的递增区间为(1，＋∞)．
二、填空题
7．函数y＝(1－2x)的单调递增区间为________．
[答案] (－∞，)
[解析] 令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间(－∞，)内递减，而y＝u是减函数，
故函数y＝(1－2x)在(－∞，)内递增．
8．函数f(x)＝ln(a≠2)为奇函数，则实数a＝________.
[答案] －2
[解析] 由f(x)为奇函数，得f(－1)＝－f(1)，
即ln(a－1)＝－ln，∴＝1.
解得a＝－2或a＝2(舍去)．
三、解答题
9．已知f(x)＝ln.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求使f(x)>0的x的取值范围．
[解析] (1)要使函数有意义，应满足>0，
∴(x－1)(x＋1)<0，
∴－1<x<1，∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)要使f(x)＝ln>0，则有>1，∴－1>0，
∴>0，∴x(x－1)<0，∴0<x<1，
∴使f(x)>0的x的取值范围为(0,1)．
10．(1)已知loga>1，求a的取值范围．
(2)已知log0.72x<log0.7(x－1)，求x的取值范围．
[解析] (1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0<a<1时，有<a，从而<a<1.
∴a的取值范围是(，1)．
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上是削减的，
∴由log0.72x<log0.7(x－1)得解得x>1.
即x的取值范围是(1，＋∞)．
11．指数函数y＝()x的图像如图所示．
(1)在已知图像的基础上画出指数函数y＝()x的图像；
(2)求y＝ax2＋bx的顶点的横坐标的取值范围．
[解析] (1)由已知图象知0<<0，∴>1.∴y＝()x的图像如图所示．
(2)∵y＝ax2＋bx的顶点横坐标为－＝－·，
∴－<－<0.
∴y＝ax2＋bx的顶点横坐标的取值范围是(－，0).
一、选择题
1．设a＝，b＝，c＝log3，则a、b、c的大小关系是( )
A．a<b<c B．c<b<a
C．b<a<c D．b<c<a
[答案] B
[解析] 该题考查对数大小比较，考查对数函数的单调性，以及寻求中间变量．
∵a＝，b＝，c＝log3＝
∵x单调递减而<<
∴>>，
即c<b<a.
2．(2021·湖南高考)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
[答案] A
[解析] 明显，f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，明显，f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.
二、填空题
3．不等式(x＋1)> (3－x)的解集是________．
[答案] {x|－1<x<1}
[解析] 原不等式等价于，解得－1<x<1.
4．已知函数f(x)＝logax(0<a<1)，对于下列叙述：
①若x>1，则f(x)<0；
②若0<x<1，则f(x)>0；
③若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；
④f(xy)＝f(x)＋f(y)．
其中正确的序号是________．(写出全部叙述正确的序号)
[答案] ①②④
[解析] f(x)＝logax(0<a<1)在(0，＋∞)上是减函数，易知①②正确，③错误；④符合对数的运算法则，正确．
三、解答题
5．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；
(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
[解析] (1) 由于函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，
所以ln0.3<ln2.
(2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，
所以loga3.1<loga5.2；
当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1<5.2，
所以loga3.1>loga5.2.
(3)解法1：由于0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2<log40.2.
解法2：如图所示
由图可知log40.2>log30.2.
(4)由于函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.
同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
6．若x∈[2,4]，求函数y＝(x)2－x2＋5的值域．
[解析] ∵y＝(x－1)2＋4,2≤x≤4，
∴x∈[－1，－]．
∴≤y≤8.
∴y＝(x)2－x2＋5的值域为[，8]．
7．已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k，a>0且a≠1.
(1)求a，k的值．
(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？求出该最小值．
[解析] (1)由于
所以
解得所以
(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2
＝(log2x－)2＋.
所以当log2x＝，即当x＝时，f(log2x)有最小值.
8．若－3≤x≤－，求f(x)＝(log2)·(log2)的最大值和最小值．
[解析] f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2
＝(log2x－)2－.
又∵－3≤x≤－，∴≤log2x≤3.
∴当log2x＝时，f(x)min＝f(2)＝－；
当log2x＝3时，f(x)max＝f(8)＝2.
9．已知f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1)．
(1)求f(x)＋g(x)的定义域；
(2)推断f(x)＋g(x)的奇偶性并说明理由；
(3)求使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合．
[解析] (1)f(x)＋g(x)的定义域需满足
∴－1<x<1，
∴定义域为(－1,1)．
(2)f(x)＋g(x)为偶函数
设F(x)＝f(x)＋g(x)，则
F(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝F(x)，
又由于F(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称，
所以f(x)＋g(x)为偶函数．
(3)由f(x)＋g(x)<0得
loga(x＋1)＋loga(1－x)<0，
∴
当a>1时得x∈(－1,0)∪(0,1)；
当0<a<1时解集为空集．
综上所述当a>1时，使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合为(－1,0)∪(0,1)；当0<a<1时使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合为∅.
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