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第三次月考数学理试题
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合则( )
A. B. C. D.
2.已知命题命题,则下列命题中为真命题的是:（ ）
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4.下列函数中，在区间为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5.函数的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6.已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7.函数在R上为减函数，则( )
A． B． C． D．
8.函数的图象大致为（ ）
9.直线与曲线相切，则b的值为( )
A．－2 B．－1 C．－ D．1
10.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )
A. B．[－1,0] C．(－∞，－2] D.
11.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中确定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和微小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和微小值f(2)
12．已知函数，，若至少存在一个，使成立，则实数a的范围为( )
A．[，+∞) B．(0，+∞) C．[0，+∞) D．(，+∞)
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
13.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴青奥会的三个不同场馆服务，不同的支配方案有 种（用数字作答）．
14.的开放式中的常数项为______________(用数字作答)
15.已知随机变量，且P，P，则P()= ．
16. 设是定义在R上的偶函数，且对于恒有，已知当时，则
（1）的周期是2； （2）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
（3）的最大值是1，最小值是0； （4）当时，
其中正确的命题的序号是 .
三、解答题本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）
设命题p:实数x满足,其中,命题实数满足 .(1)若且为真,求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
18.（本小题满分12分）
某市公租房的房源位于三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任意4位申请人中:
(1)恰有2人申请片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数的分布列和期望.
19．（本小题满分12分）
设函数，曲线在点P(1，0)处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；(2)证明：.
20．（本小题满分12分）
为加快新能源汽车产业进展，推动节能减排，国家对消费者购买新能源汽车赐予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：
新能源汽车补贴标准
车辆类型
续驶里程（公里）
纯电动乘用车
万元/辆
万元/辆
万元/辆
某校争辩性学习小组，从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，依据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：
分组
频数
频率
合计
（1）求，，，的值；
（2）若从这辆纯电动乘用车中任选辆，求选到的辆车续驶里程都不低于公里的概率；
（3）若以频率作为概率，设为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求的分布列和数学期望．
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设是函数的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，假如多做，则按所作的第一题计分，作答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）
选修4－1：几何证明选讲
如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点
（Ⅰ）证明：∽△;
（Ⅱ）若的面积，求的大小.
23.（本小题满分10分）
选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。
（I）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程。
（II）试判定直线与圆C的位置关系。
24.（本小题满分10分）
选修4—5，不等式选讲
已知函数
（I） 解关于的不等式
（II）若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围。
参考答案
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
三、解答题：（解答题本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（1)当时，，，………………………………3分
又为真，所以真且真，
由，得
所以实数的取值范围为………………………………6分
(2) 由于是的充分不必要条件，
所以是的充分不必要条件，………………………………8分
又，，
所以，解得
所以实数的取值范围为………………………………12分
18. (1)解：全部可能的申请方式有种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有种，………………………………3分
从而恰有2人申请A片区房源的概率为………………………………6分
(2)的全部取值为1、2、3
………………………………9分
所以的分布列为
1
2
3
………………………………12分
（3）X的可能取值为3.5、5、6
………………………………10分
………………………………12分
21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；………………3分
当<a<时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间
g(1)＝e－2a－b.………………………………6分
(2)设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，
则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不行能单调递增，也不行能单调递减．
则g(x)不行能恒为正，也不行能恒为负．
故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.
同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.
故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；
当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．
所以<a<.
此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有
g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，
则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，
解得e－2<a<1.
当e－2<a<1时，g(x)在区间[0，1]内有最小值g(ln(2a))．………………………………9分
若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0，1])，
从而f(x)在区间[0，1]内单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0冲突，所以g(ln(2a))<0.
又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0，
故f(x)在(x1，x2)内有零点．
综上可知，a的取值范围是(e－2，1)．
故g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.………………………………12分
23.解：（1）直线的参数方程（t为参数）
M点的直角坐标为（0， 4） 圆C半径
图C方程 得 代入
得圆C极坐标方程 ………………………………5分
（2）直线的一般方程为
圆心M到的距离为
∴直线与圆C相离。 ………………………………………10分
24.解（1）
当时无解
当
∴不等式解集为（） （）……………………5分
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