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[随堂演练]
1．关于带电粒子在匀强电场和匀强磁场中的运动，下列说法中正确的是( )
A. 带电粒子沿电场线方向射入，静电力对带电粒子确定做正功，粒子动能增加
B．带电粒子垂直于电场线方向射入，静电力对带电粒子不做功，粒子动能不变
C．带电粒子沿磁感线方向射入，洛伦兹力对带电粒子做正功，粒子动能确定增加
D．不管带电粒子怎样射入磁场，洛伦兹力对带电粒子都不做功，粒子动能不变
解析：带电粒子在电场中受到的静电力F＝qE，只与q和E有关，与运动状态无关，静电力做正功还是做负功由静电力与位移的夹角打算，选项A只适用于沿电场线方向射入的带正电粒子，故选项A错；带电粒子只要垂直电场线射入，不论正电荷还是负电荷，静电力都做功，故选项B错；带电粒子不论怎样射入磁场，洛伦兹力都不做功，故选项C错，D对．
答案：D
2．(2021年新课标全国卷Ⅱ)空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计重力，该磁场的磁感应强度大小为( )
A. B.
C. D.
解析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，利用几何关系和洛伦兹力公式即可求解．
如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力供应向心力，即qv0B＝m，据几何关系，粒子在磁场中的轨道半径r＝Rtan 60°＝R，解得B＝，选项A正确．
答案：A
3．如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直于纸面对里的匀强磁场，一对正、负电子分别以相同速率与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶ D．1∶1
解析：由T＝可知，正、负电子的运动周期相同，故所用时间之比等于轨迹对应的圆心角之比．
作出正、负电子运动轨迹如图所示，由几何学问可得正电子运动的圆心角等于120°，负电子运动的圆心角等于60°，而电荷在磁场中的运动时间t＝T，所以t正：t负＝θ正：θ负＝2∶1，故B正确．
答案：B
4．(2022年宣城检测)如图所示，一足够长的矩形区域abcd内布满方向垂直纸面对里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，垂直于磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子．已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计，求：
(1)粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围；
(2)假如带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．
解析：(1)若粒子速度为v0，轨迹半径为R，由
qv0B＝m，则
R＝
若轨迹与ab边相切，如图所示，设此时相应速度为v01，则
R1＋R1sin θ＝
将R1＝代入上式并由题给数据可得
v01＝
若轨迹与cd边相切，设此时粒子速度为v02，则
R2－R2sin θ＝
将R2＝代入上式可得v02＝
所以粒子能从ab边上射出磁场的v0应满足
<v0≤.
(2)粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角越大，在磁场中运动的时间越长．由图可知，在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，此时弧所对的圆心角为(2π－2θ)．所以最长时间为t＝＝.
答案：(1)<v0≤ (2)
[限时检测]
(时间：45分钟，满分：100分)
[命题报告·老师用书独具]
学问点
题号
洛伦兹力的特点及应用
1、2、3
带电粒子在有界磁场中的运动
4、5、6、11
带电粒子在磁场中
运动的多解问题
7、10
带电粒子在交变
磁场中的运动
8
带电粒子在磁场中运动
的临界极值问题
9、12
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分，每小题只有一个选项正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内)
1．(2022年滁州模拟)电视显像管上的图像是电子束打在荧光屏的荧光点上产生的．为了获得清楚的图像电子束应当精确 地打在相应的荧光点上．电子束飞行过程中受到地磁场的作用，会发生我们所不期望的偏转．关于从电子枪射出后自西向东飞向荧光屏的过程中电子由于受到地磁场的作用的运动状况(重力不计)正确的是( )
A．电子受到一个与速度方向垂直的恒力
B．电子在竖直平面内做匀变速曲线运动
C．电子向荧光屏运动的过程中速率发生转变
D．电子在竖直平面内的运动轨迹是圆周
解析：电子在飞行过程中受到地磁场洛伦兹力的作用，洛伦兹力是变力而且不做功，所以电子向荧光屏运动的速率不发生转变；又由于电子在自西向东飞向荧光屏的过程中所受的地磁场磁感应强度的水平重量可视为定值，故电子在竖直平面内所受洛伦兹力大小不变、方向始终与速度方向垂直，故电子在竖直平面内的运动轨迹是圆周．
答案：D
2．(2022年高考北京卷)处于匀强磁场中的一个带电粒子，仅在磁场力作用下做匀速圆周运动．将该粒子的运动等效为环形电流，那么此电流值( )
A．与粒子电荷量成正比
B．与粒子速率成正比
C．与粒子质量成正比
D．与磁感应强度成正比
解析：由电流概念知，该电流是通过圆周上某一个位置(即某一截面)的电荷量与所用时间的比值．若时间为带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T，则公式I＝q/T中的电荷量q即为该带电粒子的电荷量．又T＝，解出I＝.故只有选项D正确．
答案：D
3．(2021年高考安徽理综)图中a、b、c、d为四根与纸面垂直的长直导线，其横截面位于正方形的四个顶点上，导线中通有大小相同的电流，方向如图所示．一带正电的粒子从正方形中心O点沿垂直于纸面的方向向外运动，它所受洛伦兹力的方向是( )
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
解析：由安培定则分别推断出四根通电导线在O点产生的磁感应强度的方向，再由磁场的叠加原理得出O点的合磁场方向向左，最终由左手定则可推断带电粒子所受的洛伦兹力方向向下，故选项B正确．
答案：B
4．如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直于纸面对里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a(0，L)．一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向的夹角为60°.下列说法中正确的是( )
A．电子在磁场中运动的时间为
B．电子在磁场中运动的时间为
C．磁场区域的圆心坐标为(，)
D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－2L)
解析：由题图可以计算出电子做圆周运动的半径为2L，故在磁场中运动的时间为t＝＝，选项A、B错；ab连线是磁场区域圆的直径，故圆心坐标为(L，)，电子在磁场中做圆周运动的圆心为O′，计算出其坐标为(0，－L)，所以选项C正确，选项D错．
答案：C
5．一电子以与磁场垂直的速度v从P处沿PQ方向进入长为d，宽为h的匀强磁场区域，从N点射出，如图所示，若电子质量为m，电荷量为e，磁感应强度为B，则( )
A．h＝d
B．电子在磁场中运动的时间为
C．电子在磁场中运动的时间为
D．洛伦兹力对电子做的功为Bevh
解析：过P点和N点作速度的垂线，两垂线的交点即为电子在磁场中做匀速圆周运动时的圆心O，由勾股定理可得(R－h)2＋d2＝R2，整理知d＝，而R＝，故d＝，所以选项A错误．由带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动，得t＝，故选项B错误，选项C正确．又由于洛伦兹力方向和粒子运动的速度方向总垂直，对粒子永久也不做功，故选项D错误．
答案：C
6．(2021年高考广东理综改编)如图，两个初速度大小相同的同种离子a和b，从O点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最终打到屏P上．不计重力．下列说法正确的有( )
A．a、b均带负电
B．a在磁场中飞行的时间比b的短
C．a在磁场中飞行的路程比b的短
D．a在P上的落点与O点的距离比b的近
解析：带电离子打到屏P上，说明带电离子向下偏转，依据左手定则，a、b两离子均带正电，选项A错误；a、b两离子垂直进入磁场的初速度大小相同，电荷量、质量相等，由r＝知半径相同．b在磁场中运动了半个圆周，a的运动大于半个圆周，故a在P上的落点与O点的距离比b的近，飞行的路程比b长，选项C错误，选项D正确；依据＝知，a在磁场中飞行的时间比b的长，选项B错误．
答案：D
7．如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面对里的匀强磁场，磁感应强度为B.在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v放射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法中正确的是( )
A．若v确定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若v确定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
C．若θ确定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
D．若θ确定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
解析：粒子运动周期T＝，当v确定时，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝T，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短，故选项A对；当v确定时，由r＝知，r确定；当θ从0变至的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，故选项B错；当θ确定时，粒子在磁场中运动时间t＝T＝T，ω＝.由于t、ω均与v无关，故选项C、D错．
答案：A
8．如图所示，一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子，不计重力，在a点以某一初速度水平向左射入磁场区域Ⅰ，沿曲线abcd运动，ab、bc、cd都是半径为R的圆弧．粒子在每段圆弧上运动的时间都为t.规定垂直纸面对外的磁感应强度方向为正，则磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的磁感应强度B随x变化的关系可能是下图中的( )
解析：由左手定则可推断出磁感应强度B在磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内磁场方向分别为向外、向里、向外，在三个区域中均运动圆周，故t＝，由于T＝，求得B＝.只有C选项正确．
答案：C
9．如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面对里．P为屏上的一个小孔．PC与MN垂直．一群质量为m、带电荷量为－q的粒子(不计重力)，以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域．粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内．则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为( )
A. B.
C. D.
解析：由图可知，沿PC方向射入磁场中的带负电的粒子打在MN上的点离P点最远，为PR＝，沿两边界线射入磁场中的带负电的粒子打在MN上的点离P点最近，为PQ＝cos θ，故在屏MN上被粒子打中的区域的长度为：QR＝PR－PQ＝，选项D正确．
答案：D
10．如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面对里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.某一时刻，从S平行于纸面对各个方向放射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，全部粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A. B.
C. D.
解析：由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动．由于粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，所对弦长也越短，所以从S点作OC的垂线SD，则SD为最短弦，可知粒子从D点射出时运行时间最短，如图，依据最短时间为，可知△O′SD为等边三角形，粒子圆周运动半径R＝SD，过S点作OA垂线交OC于E点，由几何关系可知SE＝2SD，SE为圆弧轨迹的直径，所以从E点射出，对应弦最长，运行时间最长，且t＝，故B项正确．
答案：B
二、非选择题(本大题共2小题，共30分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，有数值计算的要注明单位)
11．(15分)如图所示，虚线圆所围区域内有方向垂直纸面对里的匀强磁场，磁感应强度为B.一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角．设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间相互作用力及所受的重力，求：
(1)电子在磁场中运动轨迹的半径R；
(2)电子在磁场中运动的时间t；
(3)圆形磁场区域的半径r.
解析：(1)由牛顿其次定律和洛伦兹力公式得
evB＝解得R＝.
(2)设电子做匀速圆周运动的周期为T，
则T＝＝
由如图所示的几何关系得圆心角α＝θ，
所以t＝T＝.
(3)由如图所示几何关系可知，
tan ＝，
所以r＝tan.
答案：(1) (2) (3)tan
12．(15分)一个质量为m，带电荷量为＋q的带电粒子(不计重力)，以初速度v0沿y轴向＋y方向运动，从图中O点处开头进入一个边界为圆形的匀强磁场中，已知磁场方向垂直于纸面对外，磁感应强度大小为B，磁场边界半径为r.粒子进入磁场中做匀速圆周运动，已知它做圆周运动的轨道半径比圆形磁场的半径r大．
(1)转变圆形磁场圆心的位置，可转变粒子在磁场中的偏转角度．求粒子在磁场中的最大偏转角(用反三角函数表示)．
(2)当粒子在磁场中的偏转角最大时，它从磁场中射出后沿直线前进确定能打到x轴上，求满足此条件的r的取值范围．
解析：(1)粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，设轨道半径为R，依据牛顿其次定律得Bqv0＝m，
所以R＝
粒子在半径为r的圆形磁场区域中运动，要想偏转角最大，应使射入点O、射出点A与磁场圆心O′在同一条直线上，如图所示
粒子在磁场中的最大偏转角为
φ＝π－2θ＝π－2arccos ＝π－2arccos.
(2)要想使粒子打到x轴上，需要满足的条件是φ>，即r>.
由题意知r<R
故r的取值范围为<r<.
答案：(1)π－2arccos
(2)<r<
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