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课时作业46 直线的交点坐标与距离公式
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A．0或－ B.或－6
C．－或 D．0或
解析：依题意得＝，
∴|3m＋5|＝|m－7|，
∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m.
∴m＝－6或m＝.故应选B.
答案：B
2．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，
又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，
∴直线l2恒过定点(0,2)．
答案：B
3．平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝－2x＋3 D．y＝2x－3
解析：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点为N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程＝，即y＝2x－3，故选D.
答案：D
4．直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点(5,1)到l的距离为，则l的方程是( )
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0
解析：由得交点(2,2)，
设l的方程为y－2＝k(x－2)，
即kx－y＋2－2k＝0，
∴＝，解得k＝3.
∴l的方程为3x－y－4＝0.
答案：C
5．(2022 ·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
解析：设所求直线上一点(x，y)，(x′，y′)为直线3x－4y＋5＝0上的点，且(x，y)与(x′，y′)关于x轴对称，则，即，代入直线3x－4y＋5＝0得3x＋4y＋5＝0，故选A.
答案：A
6．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )
A. B.
C．4 D．8
解析：由平行直线的距离公式d＝＝＝＝.
答案：B
7．(2022·青岛模拟，2)设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为α，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为α＋45°，则( )
A．0°≤α≤180° B．0°≤α<135°
C．0°≤α<180° D．0°<α<135°
解析：由题意得
∴0°<α<135°.
答案：D
8．(2022·山西六校模拟，8)设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，即＝2，而四边形PACB的面积等于2S△PAC＝2×(|PA|·|AC|)＝|PA|·|AC|＝|PA|＝，因此四边形PACB的面积的最小值是＝，选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．(2022·天津模拟)过点P(1,3)，并且在两坐标轴上截距到原点距离相等的直线方程是________．
解析：截距为0时，方程为3x－y＝0，截距不为0时，设直线方程为±＝1(a≠0)代入(1,3)得a＝4或－2，即x＋y－4＝0或x－y－2＝0.
答案：3x－y＝0或x＋y－4＝0或x－y－2＝0
10．设直线l经过点A(－1,1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．
解析：设B(2，－1)到直线l的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，
此时直线l垂直于直线AB，kl＝－＝，
∴直线l的方程为y－1＝(x＋1)，
即3x－2y＋5＝0.
答案：3x－2y＋5＝0
11．(2022·宁夏固原一模)若m>0，n>0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，那么＋的最小值等于________．
解析：由题意知(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n,1＋m)．
依题意可知1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.
于是＋＝(m＋n)(＋)＝×(5＋＋)≥×(5＋2×2)＝.
答案：
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．
解：分P1、P2在直线的两侧和同侧，两侧时，直线过P1P2中点，同侧时直线平行于P1P2.
设所求直线为l，由于l过点A且与点P1，P2距离相等，所以有两种状况，如图：
(1)当P1，P2在l同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0；
(2)当P1，P2在l异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1.
∴所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
13．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解：(1)由于l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2
＝－(a2＋)2＋，
由于a2≥0，所以b≤0.
又由于a2＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范围是(－∞，－6)∪ (－6,0]．
(2)由于l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，
明显a≠0，所以ab＝a＋，
|ab|＝|a＋|≥2，
当且仅当a＝±1时，等号成立，
因此|ab|的最小值为2.
14．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．
解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．
设B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1.
∴a＋3b－12＝0.①
又由于线段BB′的中点坐标为(，)，且在直线l上，
∴3×－－1＝0，
即3a－b－6＝0.②
解①②，得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解得
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．
此时点P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．
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