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专题二 考前基础回扣“精、准、灵”
一、考前必记的34个概念、公式
1．四种命题的相互关系
2．全称量词与存在量词
全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定为特称命题非p：∃x0∈M，非p(x0)；
特称命题p：∃x0∈M，p(x0)的否定为全称命题非p：∀x∈M，非p(x)．
3．熟记五种常考函数的定义域
(1)当f(x)为整式时，函数的定义域为R.
(2)当f(x)为分式时，函数的定义域是使分母不为0的实数集合．
(3)当f(x)为偶次方根时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合．
(4)当f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为大于0且不为1的实数集合．
(5)当f(x)中有tan x时，则应考虑x≠kπ＋(k∈Z)．
4．指数函数与对数函数的对比区分表
解析式
y＝ax(a＞0且a≠1)
y＝logax(a＞0且a≠1)
定义域
R
(0，＋∞)
值域
(0，＋∞)
R
图象
关于直线y＝x对称
奇偶性
非奇非偶
非奇非偶
单调性
0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数
0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1 时，在(0，＋∞)上是增函数
5.方程的根与函数的零点
(1)方程的根与函数零点的关系：
由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(2)函数零点的存在性：
假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．
6．导数公式及运算法则
(1)基本导数公式：C′＝0(C为常数)；
(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sin x)′＝cos x；
(cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；
(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；(ln x)′＝；
(logax)′ ＝(a>0且a≠1)．
(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；
′＝(v≠0)．
7．导数与极值、最值
(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0四周“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0四周“左负右正”⇔f(x)在x0处取微小值．
(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”．
8．同角三角函数的基本关系
(1)商数关系：＝tan α；
(2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
9．三角函数的诱导公式
(1)sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z.
(2)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.
(3)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.
(4)sin＝cos α，cos＝sin α，
sin＝cos α，cos＝－sin α.
10．三角函数图象的三种基本变换
y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位得到y＝sin(x＋φ)的图象；
y＝sin x图象上全部点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到y＝sin ωx的图象；
y＝sin x图象上全部点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y＝Asin x的图象．
11．三角函数的对称中心与对称轴
(1)函数y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)函数y＝cos x的对称中心为(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)．
(3)函数y＝tan x的对称中心为(k∈Z)，没有对称轴．
12．三角恒等变换的主要公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝；
sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝.
13．帮助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
14．平面对量的有关运算
(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb.
两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|.
(2)平面对量基本定理：假如e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(3)三个点A，B，C共线⇔共线；向量中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β，使得，且α＋β＝1.
(4)向量的数量积：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a|2＝a2＝a·a，a·b＝|a|·|b|·cos θ＝x1x2＋y1y2，cos θ＝＝，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝＝.
15．中点坐标和三角形重心坐标
(1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，⇔P为线段P1P2的中点，中点P的坐标为.
(2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)．B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心的坐标是G，.
16.an与Sn的关系
(1)对于数列{an}，Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和．
(2)an与Sn的关系式：an＝
17．推断等差数列的常用方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．
18．推断等比数列的三种常用方法
(1)定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(3)中项公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
19．不等式的性质
(1)a＞b，b＞c⇒a＞c.
(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c.
(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(6)a＞b＞0，n∈N，n≥1⇒an＞bn.
(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒>.
20．一元二次不等式的恒成立问题
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是
21．简洁分式不等式的解法
(1)＞0⇔f(x)g(x)＞0，＜0⇔f(x)g(x)＜0.
(2)≥0⇔≤0⇔
(3)对形如＞a(x≥a)的分式不等式要实行：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解．
22．简洁几何体的表面积和体积
(1)S直棱柱侧＝ch(c为底面的周长，h为高)．
(2)S正棱锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)．
(3)S正棱台侧＝(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：
S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)，
S圆锥侧＝πrl(同上)，
S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底的半径，l为母线)．
(5)体积公式：
V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)，
V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)，
V台＝(S＋′＋S′)h(S，S′为上、下底面面积，h为高)．
(6)球的表面积和体积公式：
S球＝4πR2，V球＝πR3.
23．直线的方程
(1)点斜式：已知直线过点(x0，y0)，其斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线．
(2)斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线．
(3)两点式：已知直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为＝，它不包括垂直于坐标轴的直线．
(4)截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为＋＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．
(5)一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式．
24．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝；
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
25．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系
(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不相等)；
(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0；
(3)重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；
(4)垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.
26．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，只有当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0才表示圆心为，半径为 的圆．
27．椭圆及其性质
(1)定义：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>2c＝|F1F2|)．
(2)标准方程：焦点在x轴上，＋＝1(a＞b＞0)；
焦点在y轴上，＋＝1(a＞b＞0)．
(3)性质：①范围；②顶点；③对称性；④离心率．
28．双曲线及其性质
(1)定义：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<2c＝|F1F2|)．
(2)标准方程：焦点在x轴上，－＝1(a＞0，b＞0)；焦点在y轴上，－＝1(a＞0，b＞0)．
(3)性质：①范围；②顶点；③对称性；④离心率；⑤渐近线．
(4)与双曲线－＝1具有共同渐近线的双曲线系为－＝λ(λ≠0)．
29．抛物线及其性质
(1)定义：|MF|＝d.
(2)标准方程：y2＝2px；y2＝－2px；x2＝2py；x2＝－2py.(p＞0)
(3)性质：①范围；②顶点；③对称性；④离心率．
30．抽样方法
简洁随机抽样、分层抽样、系统抽样．
(1)从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为；
(2)分层抽样实际上就是按比例抽样，即总体与样本中各层在总体中所占的比例都相等；
(3)简洁随机抽样的特征是逐个抽取；
(4)系统抽样的特征是“等距”抽取．
31．变量间的相关关系
假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．
回归方程＝x＋，
其中
32．独立性检验的基本方法
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表如表：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
依据观测数据计算由公式K2＝所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度．
33．复数的四则运算法则
(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．
34．算法的三种基本规律结构
(1)挨次结构：如图(1)所示．
(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．
(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
二、考前必会的25个规律、推论
1．集合问题必需牢记的重要结论
(1)a与{a}的区分：一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的集合．
(2)易混淆0，∅，{0}：0是一个实数，∅是一个集合，它含有0个元素，{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．
(3)∅是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．所以当两个集合之间存在子集关系时，不要遗忘对空集的争辩，即若A⊆B，则应分A＝∅和A≠∅两种状况进行分析．
(4)若集合是不等式的解集，则在两个集合的交集与并集以及集合的补集的求解过程中要留意端点值的取与舍，不能遗漏，在利用数轴表示集合时，留意端点值的标注，区分实点和虚点．
(5)求解集合的补集时，要先求出集合，然后再写其补集，不要直接转化条件导致出错，如A＝的补集是{x|x≤0}，而不是.
(6)交集的补集等于补集的并集，即∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；并集的补集等于补集的交集，即∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
(7)对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.
(8)如图所示的Venn图中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ依次表示集合∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，A∩B，B∩(∁UA)．
2．常用规律用语的常用规律
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
(3)在推断一些命题的真假时，假如不简洁直接推断，可转化为推断其逆否命题的真假．
3．有关函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)当k＞0时，函数f(x)与kf(x)的单调性相同；当k＜0时，函数f(x)与kf(x)的单调性相反．
(3)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)则为增(减)函数．
(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
(5)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．
(6)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．
(7)函数f(x)与kf(x)，(f(x)≠0)的奇偶性相同(其中k为非零常数)．
(8)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.
(9)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数．
4．推断函数周期的几个重要结论
(1)若满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a.
(2)若满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a.
(3)若满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，T＝2a.
(4)若满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，T＝2a.
(5)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，且关于直线x＝b对称，则f(x)是周期函数，T＝2|b－a|(b≠a)．
5．函数图象对称变换的相关结论
(1)y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象是函数y＝f(－x)的图象．
(2)y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象是函数y＝－f(x)的图象．
(3)y＝f(x)的图象关于原点对称的图象是函数y＝－f(－x)的图象．
(4)y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象是函数y＝f－1(x)的图象．
(5)y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称的图象是函数y＝f(2m－x)的图象．
(6)y＝f(x)的图象关于直线y＝n对称的图象是函数y＝2n－f(x)的图象．
(7)y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称的图象是函数y＝2b－f(2a－x)的图象．
6．函数图象平移变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．
(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．
7．函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af(x)(a＞0)的图象．
(2)把y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0＜b＜1)或缩短(b＞1)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f(bx)(b＞0)的图象．
8．正余弦定理及其推论
(1)正弦定理：
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝；cos B＝；
cos C＝.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A；a2＋c2－b2＝2accos B；a2＋b2－c2＝2abcos C.
9．三角形四心的向量形式
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，则
(1)O是三边中垂线的交点⇔O是△ABC的外心⇔
(2)O是三条中线的交点⇔O是△ABC的重心⇔
(3)O是三条高线的交点⇔O是△ABC的垂心⇔
(4)O是三个内角角平分线的交点⇔O是△ABC的内心⇔
10．等差数列{an}的常用性质
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.
(2){kan}也成等差数列．
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…，仍成等差数列．
(4)Sn＝，Sn＝na1＋d＝n2＋n.
(5)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0，Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
11．等比数列{an}的常用性质
(1)an＝a1qn－1＝amqn－m；p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an.
(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列．
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…，成等比数列(q≠－1)．
(4)Sn＝
＝
12．等差数列与等比数列的区分与联系
(1)假如数列{an}成等差数列，那么数列{Aan}(Aan总有意义)必成等比数列．
(2)假如数列{an}成等比数列，且an＞0，那么数列{logaan}(a＞0，a≠1)必成等差数列．
(3)假如数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列．数列{an}是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)假如两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
(5)假如由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行争辩，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
13．常用常考的不等式
(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．
(2)a，b∈R⇒a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)．
(3)a>0，b>0⇒≥(当且仅当a＝b时取等号)．
(4)a3＋b3＋c3≥3abc(a＞0，b＞0，c＞0)，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，当且仅当a＝b＝c时取等号．
(5)|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(6)≤≤≤ (当且仅当a＝b时取等号，且a>0，b>0)．
14．给定区间上，含参数的不等式恒成立或有解的条件依据
(1)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L(形如[α，β]，(－∞，β]，[α，＋∞)等)上，含参数的不等式f(x)≥t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)min≥t(x∈L)．
(2)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L上，含参数的不等式f(x)≤t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)max≤t(x∈L)．
(3)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L上，含参数的不等式f(x)≥t(t为参数)有解的充要条件是f(x)max≥t(x∈L)．
(4)在给定区间(－∞，＋∞)的子区间L上，含参数的不等式f(x)≤t(t为参数)有解的充要条件是f(x)min≤t(x∈L)．
15．直观图
(1)空间几何体直观图的画法常接受斜二测画法．对斜二测画法的规章可以记忆为：“平行要保持，横长不变，纵长减半”．
(2)由直观图的画法规章可知：任何一个平面图形的面积S与它的斜二测画法得到的直观图的面积S′之间具有关系S′＝S.用这个公式可以便利地解决相关的计算问题．
16．三视图
(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观看几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．
(2)三视图排列规章：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．
(3)一般地，若俯视图中消灭圆，则该几何体可能是球或旋转体；若俯视图是多边形，则该几何体一般是多面体；若正视图和侧视图中消灭三角形，则该几何体可能为锥体．
17．两直线的位置关系的应用
(1)争辩两条直线的位置关系应留意斜率不存在或斜率为0的状况，当两条直线中的一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，它们也垂直．
(2)已知直线l：Ax＋By＋C＝0，则与直线l平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；与直线l垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
18．点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)及圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
(1)点M在圆C外⇔|CM|＞r
⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；
(2)点M在圆C内⇔|CM|＜r
⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；
(3)点M在圆C上⇔|CM|＝r
⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
19．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来推断：
(1)代数方法(推断直线与圆的方程联立所得方程组的解的状况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；
(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d＜r⇔相交；d＞r⇔相离；d＝r⇔相切．
20．圆与圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则
(1)当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；
(2)当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；
(3)当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；
(4)当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；
(5)当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含．
21．圆锥曲线的对称问题
曲线F(x，y)＝0关于原点O成中心对称的曲线是F(－x，－y)＝0；曲线F(x，y)＝0关于x轴对称的曲线是F(x，－y)＝0；曲线F(x，y)＝0关于y轴对称的曲线是F(－x，y)＝0；曲线F(x，y)＝0关于直线y＝x对称的曲线是F(y，x)＝0；曲线F(x，y)＝0关于直线y＝－x对称的曲线是F(－y，－x)＝0.
22．有关大事关系的重要结论
(1)大事B包含大事A：大事A发生，则大事B肯定发生，记作A⊆B.
(2)大事A与大事B相等：若A⊆B，B⊆A，则大事A与B相等，记作A＝B.
(3)并(和)大事：某大事发生，当且仅当大事A发生或大事B发生，记作A∪B(或A＋B)．
(4)交(积)大事：某大事发生，当且仅当大事A发生且大事B发生，记作A∩B(或AB)．
(5)大事A与大事B互斥：若A∩B为不行能大事(A∩B＝∅)，则大事A与大事B互斥．
(6)对立大事：A∩B为不行能大事，A∪B为必定大事，则A与B互为对立大事．
23．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式：
P(A)＝；
(2)互斥大事的概率计算公式：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)对立大事的概率计算公式：P()＝1－P(A)；
(4)几何概型的概率计算公式：
P(A)＝.
24．复数的运算
(1)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的安排律，即对任意z1，z2，z3∈C，有：z1·z2＝z2·z1；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
(2)两个共轭复数z，的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·＝|z|2＝||2.
25．复数的几个常见结论
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i，＝－i；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)；
(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
三、考前必懂的22个解题方法
1．解决集合问题要“四看”
(1)看代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解题时需分清是点集、数集还是其他集合．
(2)看元素组成：集合是由元素组成的，从争辩集合的元素入手是解集合问题的常用方法．
(3)看能否化简：有些集合是可以化简的，假如先化简再争辩其关系，可使问题变得简捷．
(4)看能否数形结合：常用的数形结合的形式有数轴、坐标系和Venn图．
2．充分条件与必要条件的推断方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于推断真假的命题．
3．利用导数争辩函数单调性的步骤
第一步：确定函数f(x)的定义域；
其次步：求f′(x)；
第三步：解方程f′(x)＝0在定义域内的全部实数根；
第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的挨次排列起来，分成若干个小区间；
第五步：确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．
4．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤
第一步：求导数f′(x)；
其次步：求方程f′(x)＝0的根x0；
第三步：检查f′(x)在x＝x0左右的符号：
①左正右负⇔f(x)在x＝x0处取极大值；
②左负右正⇔f(x)在x＝x0处取微小值．
5．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
第一步：求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或微小值)；
其次步：将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
6．求解恒成立问题的主要方法
(1)分别参数法：当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其他变量完全分别开来，且分别后不等式另一边的函数(或代数式)的最值可求出时，应用分别参数法．
(2)最值法：当不等式一边的函数(或代数式)的最值能够较简洁地求出时，可直接求出这个最值(最值中可能需用参数表示)，然后建立关于参数的不等式求解．
(3)数形结合法：假如不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围．
(4)更换主元法：在问题所涉及的几个变量中，选择一个最有利于问题解决的变量作为主元进行求解．
7．推断函数f(ωx＋φ)的奇偶性的方法
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝tan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝(k∈Z)．
8．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)解析式的方法
A＝，B＝，ω＝，求φ时，常依据“五点法”中的五个点求解，可以依据图象的升降找准第一个零点的位置，把第一个零点作为突破口．
9．三角函数恒等变换的基本策略
(1)常值代换：特殊是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α；α＝(α－β)＋β；β＝－；α可视为的倍角；±α可视为的半角等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
(5)公式的变形应用，如sin α＝cos αtan α，sin2α＝，cos2α＝，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1±sin α＝2等．
(6)化简三角函数式：
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).
10．数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)；1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和．
(4)错位相减法：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解．
(5)裂项相消法：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有：
①＝－；
②＝；
③＜＝；
－＝＜＜＝－；
④＝；
⑤an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
11．数列的通项的求法
(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式．
(2)已知Sn(即a1＋a2＋…＋an＝Sn)求an，用作差法：
an＝
(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，求an，用作商法：
an＝
(4)若an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．
(5)若＝f(n)，求an，用累乘法：
an＝··…··a1
＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．
(6)an＝kan－1＋b，an＝kan－1＋bn(k，b为常数)的递推数列都可以用待定系数法，先将问题转化为公比为k的等比数列后，再求an.
(7)形如an＝的递推数列可以用倒数法求通项．
12．已知定值求极值的常考形式及应试方法
(1)已知x>0，y>0，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x>0，y>0，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
(3)已知a，b，x，y>0，若ax＋by＝1，则有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
13．求解线性规划问题
(1)二元一次不等式表示的平面区域：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在直线l的同侧；异号则在直线l的异侧．
(2)求解线性规划问题的步骤：①依据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解．
(3)可行域的确定：“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，依据其符号确定不等式所表示的平面区域．
(4)目标函数的几何意义：z＝ax＋by的几何意义是直线ax＋by－z＝0在x轴上的截距的a倍，是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距的b倍；z＝表示的是可行域内的点P(x，y)与点Q(a，b)连线的斜率；z＝(x－a)2＋(y－b)2表示的是可行域内的点P(x，y)与点Q(a，b)的距离的平方．
(5)线性目标函数在线性可行域内的最优解(非整点解)一般在可行域的边界或顶点处取得．
14．证明位置关系的方法
(1)线面平行：⇒a∥α，⇒a∥α，⇒a∥α.
(2)线线平行：⇒a∥b，⇒a∥b，⇒a∥b，⇒b∥c.
(3)面面平行：⇒α∥β，⇒α∥β，⇒α∥γ.
(4)线线垂直：⇒a⊥b.
(5)线面垂直：⇒l⊥α，⇒a⊥β，⇒a⊥β，⇒b⊥α.
(6)面面垂直：⇒α⊥β，⇒α⊥β.
15．空间位置关系的转化
16．直线与圆锥曲线的位置关系
可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的状况来推断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
由消元，
如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
(2)若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
①Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；
②Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
③Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
17．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)，则所得弦长
|P1P2|＝
或|P1P2|＝ .
18．用样本估量总体
(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
19．方差与标准差的计算
标准差的平方就是方差，方差的计算
(1)基本公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
(2)简化计算公式①s2＝[(x＋x＋…＋x)－n·2]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．
(3)简化计算公式②s2＝(x′＋x′＋…＋x′)－′2
当一组数据中的数据较大时，可依照简化平均数的计算方法，将每个数同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x1′＝x1－a，x2′＝x2－a，…，xn′＝xn－a，即得上述公式．
20．复数的基本概念与运算问题的解题思路
(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是确定复数的实部和虚部，然后再依据实部、虚部所满足的条件，列方程(组)求解．
(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a
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