2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-7-1-Word版含解析.docx

不等式性质的应用错误
[典例]　(2022·陕西高考)已知函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)．
设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值．
[审题视角]　在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要特殊留意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形．
[解析]　解法一：由题意知
－1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，①
－1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，②
设b＋3c＝m(b＋c)＋n(－b＋c)＝(m－n)b＋(m＋n)c，
于是∴，
∴－6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0，
当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，
所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.
解法二：由题意知
即

由图像知，b＋3c在点(0，－2)取到最小值－6，在点(0,0)取到最大值0；
∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.

1．同向不等式相加或相乘不是等价变形，在解题过程中多次使用有可能扩大所求范围．
2．此类问题的解决方法是：先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最终通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围．
3．还可利用线性规划求解，先画出可行域，再确定目标函数的最值．

1．(2022·保定统测)(1)已知2≤x≤3,6≤y≤9，求的取值范围；
(2)已知－1<a＋b<3且2<a－b<4，求2a＋3b的取值范围．
解：(1)∵2≤x≤3，∴6≤3x≤9
∵6≤y≤9，∴12≤2y≤18，∴≤≤
∴≤＝3x·≤，即的取值范围为[，]．
(2)设2a＋3b＝m(a＋b)＋n(a－b)
＝(m＋n)a＋(m－n)b
故解m＝，n＝－
∴2a＋3b＝(a＋b)－(a－b)
而(a＋b)∈(－，)
－(a－b)∈(－2，－1)
∴2a＋3b∈(－，)　即2a＋3b的取值范围为(－，)．
2．若α，β满足试求α＋3β的取值范围．
解：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
由解得
∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.