2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练-8-2-Word版含解析.docx

巧用补形法破解立体几何问题
[典例]　(2022·辽宁)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．
[审题视角]　正方体是立体几何中“最刺眼的明星”，把直角四周体补成一个正方体是立体几何常用的解题对策之一，这时直角四周体与正方体融为一体，它们有着共同的外接球．
[解析]　本题考查球的截面运算学问．
依据条件PA，PB，PC相互垂直，
∴PA2＋PB2＋PC2＝4R2，∴PA＝PB＝PC＝2
则△ABC边长为2，利用勾股定理R2＝d2＋r2，
∴d2＝R2－r2
d2＝3－()2＝，∴d＝.
留意常用结论在球中从同一点动身的两两垂直的三条弦的平方和等于4R2.
[答案]　

某些空间几何体虽然也是规章的几何体，不过几何量不易求出，可以依据它所具有的特征联系到一些常见的规章几何体，作为这个规章几何体的一部分，通过联系这个“大”的几何体，把要解决的问题归入一个“更大”的范围内解决，即整体化思想，往往能格外制胜，化难为易．

1．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为(　　)
A.π B．2π
C．3π D．4π
解析：如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，

∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长．
据题意
解得
∴长方体的对角线长为
＝，
∴三棱锥外接球的半径为.
∴三棱锥外接球的体积为
V＝π·()3＝π.
答案：A
2．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
解析：如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r，由题意得πr2＝×4πR2.∴r＝R，∴OO1＝R.体积较小的圆锥的高AO1＝R－R＝R，体积较大的圆锥的高BO1＝R＋R＝R.故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.

答案：