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课时提升作业(四十一)
一、选择题
1.在用数学归纳法证明凸n边形内角和定理时,第一步应验证( )
(A)n=1时成立 (B)n=2时成立
(C)n=3时成立 (D)n=4时成立
2.已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真,则还需证明( )
(A)n=k+1时命题成立
(B)n=k+2时命题成立
(C)n=2k+2时命题成立
(D)n=2(k+2)时命题成立
3.(2021·河源模拟)某个命题与正整数n有关,若n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推
得( )
(A)n=6时该命题不成立
(B)n=6时该命题成立
(C)n=4时该命题不成立
(D)n=4时该命题成立
4.(2021·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取( )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
5.设Sk=+++…+,则Sk+1=( )
(A)Sk+
(B)Sk++
(C)Sk+-
(D)Sk+-
6.用数学归纳法证明++…+<(n≥n0,n0∈N*),则n的最小值等于( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
7.(2021·潍坊模拟)对于不等式<n+1(n∈N*),某同学的证明过程如下:
(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
对于上述证法,( )
(A)过程全部正确
(B)n=1时验证不正确
(C)归纳假设不正确
(D)从n=k到n=k+1的推理不正确
8.(力气挑战题)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为( )
(A)18 (B)36 (C)48 (D)54
二、填空题
9.(2021·洛阳模拟)用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等式是 .
10.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=(n∈N*)的其次步中,当n=k+1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于 .
11.若数列{an}的通项公式an=,记cn=2(1-a1)·(1-a2)…(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推想cn= .
12.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)等于 .
三、解答题
13.用数学归纳法证明:
++…+=(n∈N*).
14.用数学归纳法证明不等式:++…+>(n∈N*且n>1).
15.(力气挑战题)设f(n)=1++…+.是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)[f(n)-1]对于n≥2的一切正整数都成立?证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选C.凸多边形至少有三边,所以应验证n=3时成立.
2.【解析】选B.因n是正偶数,故只需证等式对全部偶数都成立,因k的下一个偶数是k+2,故选B.
3.【解析】选C.由n=k(k∈N*)成立,可推得当n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立,必有n=5成立.现知n=5不成立,所以n=4确定不成立.
4.【思路点拨】用等比数列的前n项和求出不等式的左边,解不等式即可得到初始值.
【解析】选B.1+++…+=>,整理得2n>128,解得n>7,所以初始值至少应取8.
5.【解析】选C.由已知得
Sk=+++…+,
Sk+1=++…+++,
因此Sk+1=Sk+-.
6.【解析】选C.当n=1时,左边==1,右边=11=1,不等式不成立;当n=2时,左边=+=3,右边==2,不等式不成立,当n=3时,左边=7,右边=9,不等式成立,当n=4时,左边=15,右边=>16,不等式成立,所以n的最小值等于3.
7.【解析】选D.从n=k到n=k+1的推理时没有运用归纳假设,因此证明不正确.
8.【思路点拨】先求出当n=1,2,3时f(n)的值,由此猜想m的最大值,再用数学归纳法证明结论成立.
【解析】选B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值为36.当n=1时,可知猜想成立.假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,f(k+1)= (2k+9)·3k+1+9=(2k+7)·3k+9+36(k+5)·3k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值为36.
9.【解析】由条件知n的第一个值为2,所以第一步应验证的不等式是1++<2.
答案:1++<2
10.【解析】n=k+1比n=k时左边变化的项为(2k+1)+(2k+2)-(k+1)=3k+2.
答案:3k+2
11.【解析】c1=2(1-a1)=2×(1-)=,
c2=2(1-a1)(1-a2)=2×(1-)×(1-)=,
c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×(1-)×(1-)×(1-)=,故由归纳推理得cn=.
答案:
12.【解析】f(2k+1)-f(2k)
=1+++…+-(1+++…+)
=++…+.
答案:++…+
13.【解析】①当n=1时,左边==,右边==,
左边=右边,等式成立;
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,
即++…+=,
当n=k+1时,左边
=++…+
+
=+
=
=
=,
所以当n=k+1时,等式成立.
由①②可得对任意n∈N*,等式成立.
14.【证明】(1)当n=2时,左边=+=>,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,
则++…+>,
则当n=k+1时,
左边=++…+++
=+++…+++-
>+->.
∴当n=k+1时,不等式成立,
依据(1)(2)知,原不等式对n∈N*且n>1都成立.
15.【解析】当n=2时,得g(2)=2,当n=3时,得g(3)=3,猜想g(n)=n(n≥2,n∈N*).用数学归纳法证明猜想成立.
(1)当n=2时,左边=f(1)=1,右边=2[f(2)-1]=1,左边=右边,所以等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,
即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=g(k)[f(k)-1],
那么当n=k+1时,
f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)
=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
=(k+1)[f(k+1)-]-k
=(k+1)[f(k+1)-1],
也就是说当n=k+1时等式也成立.由(1)(2)可知,等式对n≥2的一切正整数都成立.
故存在关于正整数n的函数g(n)=n,使等式对n≥2的一切正整数都成立.
【变式备选】已知函数f(x)=x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,an+1≥f′(an+1).试比较+++…+与1的大小,并说明理由.
【解析】+++…+<1.
理由如下:
∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),
∴an+1≥(an+1)2-1.
令g(x)=(x+1)2-1,则函数g(x)=x2+2x在区间[1,+∞)上单调递增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,由此猜想:an≥2n-1.
下面用数学归纳法证明这个猜想:
①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即ak≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上单调递增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.
由①②知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1,
即1+an≥2n,∴≤,
∴+++…+≤+++…+==1-()n<1.
【方法技巧】“归纳——猜想——证明”类问题的一般解题思路
通过观看有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探究性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其关键是归纳、猜想出公式.
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